granica ciągu Paula: Czy umie ktoś pomóc Wydaje mi się, że miałam kiedyś (czyt. kilka lat temu) podobne zadanie, ale na samych potęgach, jednak teraz nie wiem jak zacząć Znajdź granicę ciągu:

	5n + 3n
lim
	7n − 4n

n→∞

Bogdan: Wyłącz przed nawias w liczniku 5ⁿ, a w mianowniku 7ⁿ.

Paula: tak też już próbowałam...ale co mi to daje? zostaje mi postać

	1 + ( 35 )n
limn→∞( 57 )n * (		)
	1 + ( 47 )n

przedobrzyłam? bo nie wiem co dalej...przemnożyć np. mianownik przez to samo ale ze znakiem ujemnym? Chodzi mi o wzór skróconego mnożenia a² − b²=(a−b)(a+b)... jakoś się motam w tym zadaniu

Paula: oj tam na dole w mianowniku powinno być 1 − ( ⁴₇ )ⁿ drobny błąd w druczku

Bogdan:

	a
do czego dąży wyrażenie (		)n, jeśli a < b i n→∞ ?
	b

Bogdan:

	a
Precyzując − ułamek:		jest ułamkiem właściwym
	b

Paula: Wiem że nie powinno się odpowiadać pytaniem na pytanie, ale nie jestem pewna...dąży do 0 to rozwiązaniem jest liczba 1?

Paula: oj nie 0

Bogdan: Tak jest, 0*1 = 0,

Paula: a to takie proste było...ale ze mnie pierdoła ale dziękuję bardzo Bogdanie a tak przy okazji chciałam się spytać, czy z przykładem lim_n→∞ ⁿ√1 + 2ⁿ + eⁿ trzeba postępować analogicznie jak w zadaniu 17101 i rozwiązaniam będzie "e" bo jest największe z tych liczb przyjmując wartość w przybliżeniu 2,7

Bogdan: Tak jak 17101 stosując twierdzenie o trzech ciągach: ⁿ√eⁿ < ⁿ√1 + 2ⁿ + eⁿ < ⁿ√3eⁿ

Paula: dzięki z tego co widzę na tym forum to Ty z kilkoma osobami jesteście bardzo dobrzy i zawsze umiecie pomóc zbłądzonym umysłom bo widzisz ogólnym moim problemem jest niedzielne zaliczenie już po pierwszych zajęciach matematyki...jestem po podstawowej matematyce a teraz na studiach robią nam "powtórkę" z rozszerzonej matematyki...czyli zadania do przećwiczenia w domu a później zaliczenia z tego o czym miałam napomknięte na lekcjach lub wogóle nie miałam.... a zadań jest paredziesiąt do rozwiązania niektórych dochodzę po przeszperaniu różnych stron internetowych ze wzorami i zbliżonymi zadaniami, ale niektórych ciężko się szuka np. nie mogę znaleźć pomocy do przykładów

	n * sin(n!)
limn→∞
	n2 + 1

	n!
limn→∞
	nn

	3n − 2
limn→∞ (		)3n−2
	3n + 1

więc jeśli masz jeszcze trochę cierpliwości do mojej osoby to proszę pomóż...a szczególnie w pierwszym przykładzie...

Paula: chociaż sądzę że w 2 przykł. będzie po prostu 0 rozwiązaniem...

Bogdan: Szkoda, że myśląc o studiach pofolgowałaś sobie z nauką matematyki ograniczając się do poziomu podstawowego, trzeba było we własnym zakresie przerobić materiał wykraczający poza podstawę. Wracając do zadań. 1. Do jakiego przedziału należy sinα , bez względu na α ?

	n!		1*2*3*...*n
2.		=		, czy to jest ułamek właściwy czy niewłaściwy?
	nn		n*n*n*...*n

3. Wyłącz liczbę 3 przed nawias w liczniku i w mianowniku.

Paula: a może 1 czy ∞? jak da się zauważyć trochę nie rozumiem tych granic ciągów...

Bogdan: Jeśli licznik "ucieka" szybciej od "mianownika", to granicą jest ∞, jeśli mianownik osiąga coraz większe wartości od licznika, do ułamek dąży do 0. W pierwszym i w drugim przypadku licznik wzrasta wolniej od mianownika, granicą jest 0. A w trzecim przypadku?

Bogdan: Granice ciągów, to dopiero wstęp do analizy matematycznej i rachunku różniczkowego, który niewątpliwie będziesz przerabiała na studiach, nie zrozumienie wstępu utrudni Ci rozumienie bardziej zaawansowanych partii materiału.

Paula: 1. Chodzi o przedział (−1,1) ? 2. niewłaściwy?

	2
3. A nie lepiej wyłączyć 3n i wtedy jak się nie mylę rozwiązaniem było by 1? bo		i
	3n

	1
		dążyłyby do 0
	3n

Na szczęście matematyka tylko przez ten semestr a ja chyba nie mam do niej niestety zacięcia rezygnując z rozszerzonej mając możliwość jej się uczyć

Paula: a no niestety wiem dlatego nie jestem na tyle głupia żeby przepisać rozwiązania tylko jakoś to pojąć...dlatego dobrze że nie piszesz mi od razu odp tylko każesz mojemu mózgowi myśleć

Bogdan: 1. prawie dobrze, sinα∊<−1, 1>, przedział dwustronnie domknięty, 2. nie, która liczba jest większa: n! czy nⁿ ? 3. tak, tu załapałaś, można wyłączyć 3n lub tylko n.

Paula: oj dopiero zauważyłam twoją dużo wcześniejszą odp to tego pierwszego przypadku nie trzeba wogóle rozpisywać? chodzi mi o licznik. no a w 3 przykł. nadal sądzę że rozwiązaniem będzie 1

Bogdan: W 3 − tak

Paula: jakoś na raz piszemy <z jezorkiem> normalnie przy tobie jakaś ciemna się czuję... nie będę zbyt wścibska pytając skąd masz taką dużą wiedzę i pewność w dawaniu odpowiedzi na wszystkie moje pytania? ja bym musiała długo ich szukać... 1. już rozumiem tylko, czy trzeba to rozpisać ? 2. nie byłam pewna...ale spojrzałam na to chyba wreszcie z właściwej strony i większe jest nⁿ 3. czy w obliczeniach musze rozbić potęgę czy moge ją tak zostawić?

Paula: W pierwszym dopisałam po prostu obok: sin<1,1> , n!=1*2*3*4*...*n, n*sin(n!)< n² + 1 i sądzę że takie wyjaśnienie starczy a w 3 nic nie rozbijałam, bo to by było niepotrzebne dziękuję bardzo za pomoc i poświęcony mi czas na razie czas na przerwę jak coś w kolejnych zadaniach sprawi mi trudność mam nadzieję, że mogę liczyć na pomoc

Bogdan: 1. tak, trzeba uzasadnić odpowiedź, 2. tak, 3. możesz tak zostawić, bo 1³ⁿ⁻² = 1 Trening połączony z dociekliwością, uporem i samodzielnym badaniem zagadnień czyni cuda, swobodę i łatwość w dostrzeganiu związków między elementami występującymi w problemie osiąga się ćwicząc umysł nieustannie, zresztą są to ćwiczenia przyjemne i dające satysfakcję.

Bogdan: Tak, na pomoc możesz liczyć, ale na gotowe rozwiązania nie. Pozdrawiam