granice ciągów pola: oblicz granicę ciągu: lim ( ⁿ√4ⁿ+5ⁿ) n→∞ 1. Proszę o obliczenie granicy z wyjaśnieniami. Dopiero zaczynam ten dział i niewiele z niego rozumiem.

Bogdan: Dzień dobry. Stosujemy w tym przypadku twierdzenie o trzech ciągach oraz twierdzenie: lim_n→∞ⁿ√a = 1 ⁿ√5ⁿ < ⁿ√4ⁿ + 5ⁿ < ⁿ√5ⁿ + 5ⁿ ⇒ 5 < ⁿ√4ⁿ + 5ⁿ < 5ⁿ√5 lim_n→∞5 = 5 i lim_n→∞5ⁿ√5 = 5 ⇒ lim_n→∞ⁿ√4ⁿ + 5ⁿ = 5

Eta: Witam Bogdanie! Miłego dnia

Bogdan: Witam Eto . Pozdrawiam

pola: moje pytanie brzmi skąd mam wiedzieć kiedy stosować tw. o trzech ciągach, kiedy z kolei np. podzielić przez najwyższą potegę mianownika a kiedy (w tym wypadku nic mi to nie da) albo kiedy podzielić każdy wyraz przez sam wykładnik itp? są jakieś ogólne zasady albo np. jakieś grupy ciągów w których się określone reguły stosuje? albo czy np. tw. o trzech ciągach jest uniwersalne i zadziała zawsze?

pola: wiem jedno, trzeba ćwiczyć. będę teraz dodawać próby rozwiązań i proszę o sprawdzanie. pozdrawiam Eto i Bogdanie lim (ⁿ√(7/8)ⁿ+1+(8/7)ⁿ) n→∞ √ⁿ(8/7)ⁿ<ⁿ√(7/8)ⁿ+1+(8/7)ⁿ<ⁿ√(8/7)ⁿ+(8/7)ⁿ+(8/7)ⁿ lim √ⁿ(8/7)ⁿ= 8/7 lim ⁿ√(8/7)ⁿ+(8/7)ⁿ+(8/7)ⁿ=ⁿ√3*ⁿ√8/7ⁿ=8/7 ⇒lim(ⁿ√(7/8)ⁿ+1+(8/7)ⁿ)=8/7

pola: pomożecie? proszę... chciałabym się tego nauczyć

Bogdan: Nie ma innego wyjścia, jak przerobić samodzielnie jak najwięcej zadań i nabrać doświadczenia w ustalaniu wyboru rozwiązania. Są oczywiście mechanizmy, które są pomocne w rozwiązywaniu określonych grup zadań, można je stosować niemal intuicyjnie mając właśnie doświadczenie. Np.: przy granicach z wielomianami wyłącza się zazwyczaj najwyższą potęgę przed nawias. Twierdzenie o trzech ciągach najczęściej pojawia się w takich zadaniach, z których jedno tu pokazałaś. W granicach z funkcjami trygonometrycznymi udaje się zastosować twierdzenie:

	sinx
limx→0		= 1, w granicach typu √f(x) − a, √f(x) + a, √f(x) − √g(x), itp.
	x

można skorzystać z wzoru skróconego mnożenia: A² − B² (A − B)(A + B), w przypadkach podobnych do: lim_x→∞(jakieś wyrażenie zależne od x)^{inne wyrażenie zależne od x} chodzi prawdopodobnie o twierdzenie: lim_x→∞(1 + 1/f(x))^f(x) = e. W granicach z wyrażeniami nieoznaczonymi stosuje się regułę de l'Hospitala. Życzę wytrwałości i powodzenia

Bogdan: W nierówności podwójnej po prawej stronie wystarczyło zastosować: ⁿ√(8/7)ⁿ + (8/7)ⁿ, poza tym jest dobrze.

pola: czy dobrze rozwiązałam? cos(n⁵) lim ( −−−−−−−) n→∞ n+1 −1≤cos(n⁵)≤1 |: (n+1) −1 1 −−−− ≤cos(n⁵)≤ −−− n+1 n+1 0 0 (bo st. licznika < st mianownika) ⇒lim cos(n⁵)=0

pola: teraz już wiem, że zrobiłam głupi błąd miało być: lim (cos(n5)/ n+1) =0 a czy mógłby mi ktoś sprawdzić to: 5ⁿ−4ⁿ lim (−−−−−) n→∞ 5n+4ⁿ 1−((4/5)ⁿ)→∞ lim −−−−−−−− n→∞ 1+((4/5)ⁿ)→∞ jak to zrobić

pola: wiem, że otrzymałam powuyżej symbol nieoznaczony⇒ przekształcic trzeba, tylko jak

Bogdan: Wyłącz przed nawias w liczniku i w mianowniku 5ⁿ.

	4
Zwróć uwagę, że limn→∞(		)n = 0
	5

pola: dlaczego lim (4/5)ⁿ=0? Może moje pytanie jest głupie, ale było coś takiego, że lim aⁿ=∞, a tutaj a=4/5 czy nie tak? jesli wyłączę tak jak napisałeś sprawa się upraszacza, ale w odpowiedziach napisali że ma wyjść "1" a mi wychodzi "−1" czy robię błąd? 5ⁿ−4ⁿ 5ⁿ(1−4ⁿ) 1/4ⁿ −1 lim (−−−−−) = −−−−−− = −−−−−−−− = −1 n→∞ 5ⁿ+4ⁿ 5ⁿ(1+4ⁿ) 1/4ⁿ +1

pola: nie chcę zakładać za każdym razem nowego wątku gdy proszę o pomoc... liczę, że się odezwiecie... proszę i z góry dziękuję

Bogdan:

4		4
	< 1, więc przy n→∞ (		)n ciąg przyjmuje kolejno wartości:
5		5

4		16		64		256
	= 0,8,		= 0,64,		= 0,512,		= 0,4096, .... .
5		25		125		625

	4
Widać, że mianownik "ucieka" szybciej, niż licznik, a więc limn→∞(		)n = 0
	5

	4
W tym przypadku: limn→∞(		)n =
	5

	4   5n(1 − ( )n)   5
= limn→∞		= 1
	4   5n(1 − ( )n)   5

Eta: Witam lim (⁴₅)ⁿ = 0 tak jak napisał Bogdan n→∞ bo mianownik większy od licznika ( czy już teraz wiesz ? więc odp: będzie taka jak w podręczniku: bo źle wyłaczyłaś przed nawias, zobacz gdzie popełniłaś błąd: Piszę jużz bez "lim"

5n[1− (45)n]
5n[ 1 +(45)n]

zatem lim = 1

Eta: Przepraszam Bogdanie ,że się wtrąciłam

Bogdan: Coś mi tu chochlik namieszał. powinno być: W tym przypadku:

	5n − 4n		4   5n(1 − ( )n)   5
limn→∞		= limn→∞		= 1
	5n + 4n		4   5n(1 + ( )n)   5

pola: ok, czyli zawsze jeśli mamy policzyć granicę ułamka: a lim( −)ⁿ b gdzie a<b to a lim ( −)ⁿ =0? n→∞ b czyli np. (7/8)ⁿ→0 (20/71)ⁿ=0 itp?

pola: * tam miało "→" być zamiast "=" (20/71)ⁿ→0

Bogdan: Tak

pola: teraz kolejny problematyczny dla mnie przykład: (2ⁿ+1)² ((2ⁿ+1)²) / (4ⁿ) 2+1+ 1/4ⁿ d) lim −−−−− = −−−−−−−−−− = −−−−−−−−− = 2 a w odpowiedziach jest że 1, gdzie robię błąd? n→∞ 4ⁿ+2ⁿ 1+0,5 1,5 bo (2ⁿ+1)² 2²ⁿ+2*2ⁿ+1 −−−−−− = −−−−−−− = −−−−−−−−− = 2+1+ 1/4ⁿ 4ⁿ 4ⁿ

pola: *tam nie ma być samej kreski ułamkowej, nie chcący mi się namalowała. dziękuję serdecznie za dotychczasową pomoc

pola: podpowiecie? bo się załamie... wydawało mi się że wszystko dobrze policzyłam, a tu nie wychodzi...

Eta: Witam ponownie zobacz: 4ⁿ =( 2²)ⁿ= (2ⁿ)² zatem:

	(2n +1)2
		=
	(2n)2 +2n

	(2n+1)2
=		=
	2n( 2n +1)

skracamy 2ⁿ +1 więc mamy:

2n +1
2n

	1		1
= 1 +		....... więc		=( 12)n →0
	2n		2n

to granica = 1

Eta: i jak ? ...... wiesz jużz gdzie bład?

pola: tak, zrozumiałam chyba dziekuję... jutro będę się uczyć dalej licze na pomoc

Karola: hej czy moze ktos mi pomoc? a) oblicz lim sin²( pi *√n²+n) przy n dazacym do nieskonczonosci... dzieki

skniht: Roztargnienie w pierwszym przykładzie. Powinno być: ⁿ√5ⁿ < ⁿ√4ⁿ + 5ⁿ < ⁿ√5ⁿ + 5ⁿ ⇒ 5 < ⁿ√4ⁿ + 5ⁿ < ⁿ√2 * 5ⁿ ⇒ 5 < ⁿ√4ⁿ + 5ⁿ < 5 ⁿ√2 lim n→∞ 5 = 5 i lim n→∞5n√2 = 5 ⇒ lim n→∞ ⁿ√4ⁿ + 5ⁿ = 5 2 czy 5 − łatwo przeoczyć − tym bardziej, że na jedno wychodzi − jest tam stały element wyrażenia i to wystarcza. Jednak prostuję − może to komuś napędzić orzeszka do rozgryzienia. Pozdrawiam i jednocześnie witam na forum. Bardzo interesującym forum

skniht: o i widzę, że brak opanowania u siebie notacji forumowej − ciąg trzeci to oczywiście zamiast lim n→∞5n√2 = 5 powinien być lim n→∞ 5ⁿ√2 = 5