PW: Zauważmy na początek, że pewne m można wykluczyć od razu. Gdyby wyraz wolny wielomianu był
równy 0, tzn.
m
2+4m−5 = 0, czyli m=1 lub m=−5,
to równanie miałoby postać
x
4 = 0 lub x
4 −6x
2 = 0,
a więc nie spełniałoby warunków zadania (pierwsze ma tylko rozwiązanie x=0, a drugie ma trzy
rozwiązania).
Dalej przyjmiemy zatem, że m≠−5 i m≠1.
Po podstawieniu x
2 = t ≥ 0 widzimy, że mamy do czynienia z równaniem
(1) t
2 + (m−1)t + m
2 +4m−5 = 0, t∊[0,
∞).
Δ = (m−1)
2 − 4(m
2+4m−5) = −3m
2−6m+21 może być zarówno ujemna jak dodatnia lub równa 0, co ma
wpływ na liczbę rozwiązań równania (1). Równanie (1) nie ma rozwiązania t=0, a więc można
powiedzieć, że musimy zadbać o to, aby miało tylko jedno rozwiązanie − wtedy x ma dwie różne
wartości. Inaczej: równanie
(1') t
2 + (m−1)t + m
2+4m−5 = 0
(rozpatrywane na całej osi) musi mieć jedno rozwiązanie dodatnie albo dwa rozwiązania różnych
znaków − rozwiązanie dodatnie daje dwa różne x, rozwiązanie ujemne oznacza, że x
2<0, a więc
nie daje rozwiązań badanego równania. Stąd wynikają warunki na Δ i na iloczyn rozwiązań.
a) Δ=0 i −(m−1) >0 (istnieje jedno rozwiązanie dodatnie)
b) Δ>0 i m
2+4m−5 <0 (są dwa rozwiązania, ale różnych znaków, bo ich iloczyn jest ujemny).
Powodzenia
