pochodna bolka: Mam takie pytanie. Jak rozpoznać w pochodnej funkcji jednej zmiennej tzw. zewnętrzną, tzn: przykład taki: 2sin⁴x. No i mam wyznaczyć pochodną funkcji, ale skąd ja wiem, co jest zewnętrzną, jak to ustalić, jakie są zasady w ustalaniu?

krystek: 2*u⁴ gdzie u=sinx i widać ,że sin jest wewntrzna a u zewnetrzną

bolka: a o co chodzi z tym u? przepatrzyłem właśnie google, i to u to jakieś zwinięcie?

krystek: f(x)=2sin⁴x i jest to funkcja złozona z funkcji potęgowej i trygonometrycznej

bolka: no dobra, ale dalej to nakierowanie, ze jedna potęgowa, inna trygonometryczna mi nic nie daje

krystek: (2sin⁴x)'=2(u⁴)'*u'=2*4sin³x*(sinx)'=..

bolka: krystek, ale prosze cię, jak w ogole stwierdzić co jest zewnętrzną. bo nie zrozumiem tego, jak nikt mi nie objaśni, jak mam szukać tej zewętrznej, a potem to jak liczysz, jak juz sie ma zewnetrzna i wewnętrzną, to po prostu ze wzoru rozwalam i gotowe. ale przepisu potrzebue, jak szukać zewnętrznej.

krystek: np y= log(x²+3) zewnetrzna to log wewnetrzna (x²+3) y=log²x=(logx)² wewnętrzna to potęgowa a wewnętrzna to logx y=sin⁴x=(sinx)⁴

john2: Jeśli można się wtrącić. Ja takie coś, jak sin²x zamieniam na (sinx)². Widać wtedy lepiej, że są dwie funkcje. Ta trygonometryczna jest "w środku". To samo z np. √x + 2 ( tu jest funkcja pierwiastkowania i funkcja liniowa "w środku") cos(4x) −> " w środku" funkcji trygonometrycznej jest 4x

bolka: w nawiasach to wiem. czyli jak mam funkcję np. cos4x, to cosx jest wewnętrzną a zewn. 4?

bolka: Oczywiście, im więcej ktoś napisze, tym może bardziej to zaczaje, bo potem na kole za tydzien bedzie klepka..

krystek: nie y=cosu u=4x

john2: Całe 4x jest wewnętrzną. 4x traktujesz jak x w cosx. Zatem cosinus jest zewnętrzną.

bolka: A co to jest to "u"?

bolka: Czyli to co mi się łączy z X tak? np. sin²x. to tutaj sinx wewn, zas zewn. jest potęga 2?

john2: Na początku też miałem z tym problemy, ale da się zrozumieć po przećwiczeniu. Przyjrzyj się dobrze tym przykładom do ostatniego wzoru tutaj: https://matematykaszkolna.pl/strona/359.html

krystek: tak

krystek: y=u² u=sinx

bolka: no w tym sin²x zajarzyłem, bo mam potęge, ale tego z cos4x nie moge pojać, że zewnętrzną jest cos, zamiast 4x. No chyba, że sie tak przyjmuje,ze jak potęga, to wyrażenie sinx jest wewnętrzną; zaś jak mam liczbę przy cos, to wowczas liczba ciągnie to x i to ona uchodzi za wewnętrzną.

krystek: cos⁴x u⁴ u=cosx cos4x cosu u=4x

john2: Funkcji wewnętrznych może być kilka. Zobacz ten przykład https://matematykaszkolna.pl/strona/2094.html Najpierw wewnętrzna to sin3x potem 3x Po to właśnie zmienne pomocnicze ( u albo y ) żeby się nie gubić

krystek: log(sin4x) masz 3 funkcje

bolka: john2, czyli najprościej, to brać w nawias, wiedząc ze to wewnętrzna i potęgę wystawić poza nawias i to jest zewnetrzna i tak najprościej, tak? tak jak wyzej mowiles?

bolka: log zewn, sin4x wewn. −> bo jest nawias, to co poza nawiasem jest zewnętrzna, jak tak na chlopski rozum kminie. TO też, ze kwestia niecwiczenia sie tu pojawia, ale jak mam cwiczyc, jak zaledwie 5 przykladow dostalem i jeszcze jakbym umial określać, to moge liczyc. Dajcie jakieś przykłady, co by mnie sprawdziły, czy rozumiem tok postępowania?

john2: tzn. jak mam funkcje trygonometryczną do jakiejś potęgi, to ja tak robię, bo inaczej się gubię

krystek: oblicz pochodną y=(x²+5x)¹⁰

krystek: y=sin⁵3x y=sinx³

john2: Warto kiedyś siąść do tego https://matematykaszkolna.pl/strona/360.html i zrobić wszystkie. A jak jakieś konkretne to: https://matematykaszkolna.pl/strona/2072.html wewnętrzna to 5x + 4 Nie zawsze będziesz mieć nawias, np: https://matematykaszkolna.pl/strona/2079.html https://matematykaszkolna.pl/strona/2078.html Tu wewnętrzną najpierw jest cały mianownik, później to co jest pod pierwiastkiem. https://matematykaszkolna.pl/strona/2166.html Tu wewnętrzną jest wykładnik

bolka: wyniki: z zadan krystka a) y'=10*(x² +5x)*2x+5 b) y'=5*(sin3x)⁴*2cos c)3sinx²*cosx

krystek: źle

krystek: a)10(x²+5x)⁹(x²+5x)'=

bolka: no to powiem, co uznałem za wewn i zewnt ok?

bolka: czekja, najpeirw powiem Zewn i wewn, zebys mi gotowcow nie dawal, sam musze dojśc do tego

bolka: w a) zewn. 10; wewn. (x²+5x) w b) zewn. 5; wewn. (sin3x) w c) zewn.3; wewn. (sinx)

krystek: klawiatura mi fiksuje w b jest wewntryna sin3x i jescye 3x

bolka: to a w takim razie będzie wynik taki: 10(x²+5x)⁹ *2x + 5 = (20x+50) (x²+5x)⁹

krystek: ok tylko nawias wczesniej

john2: krystek, spróbuj nacisnąć ctrl+shift

bolka: to przycisnij jednoczesnie CTRL + shift.

bolka: to teraz b)? jak za wczesnie nawias w a?

PW: Trzeba spojrzeć na funkcję złożoną "w kolejności wykonywania" − tak którą będziemy pierwszą obliczać to funkcja wewnętrzna. Chcąc np. obliczyć dla jakiegoś x wartość f(x) = √x²−3 musimy najpierw obliczyć h(x) = x²−3 −a więc to jest funkcja wewnętrzna. Dopiero dalej będziemy obliczać g(h(x)) = √h(x). Jest to naturalne i inaczej się nie da. W podanym przykładzie mamy zatem f(x) = g(h(x)), gdzie h(x) = x²−3, zaś g(u)=√u − to "u" może być dowolnym symbolem, oznacza po prostu zmienną dla funkcji g. Zgodnie z wzorem na pochodną funkcji złożonej będzie zatem:

	1		1
√x2−3 ' =		•(x2−3)' =		•2x = ...
	2√x2−3		2√x2−3

Tu funkcją zewnętrzną jest pierwiastek, więc pochodna pierwiastka "z tego wszystkiego co pod nim stoi" mnożona przez pochodną funkcji wewnętrznej − tego co stoi pod pierwiastkiem.

bolka: b) 5*(sin3x)⁴ * cos3x = 5cos3x*(sin3x)⁴ ?

krystek: ;hmmm

bolka: c) 3sinx²*cosx

krystek: a jesycye )3x pochodna

krystek: c zle

bolka: to daj rozwiazanie co do c)

bolka: jak w a jest 3x? nie ma 3x, 5x jest. ale obliczylem jak szlo.

john2: chodzi o 3x w b) [ (sin3x)⁵ ]' = 5(sin3x)⁴ * (sin3x)' = 5(sin3x)⁴ * cos3x * (3x)' =

john2: w c) jest sinx³, czyli sin(x³), a nie sin³x

bolka: ale zewn. jest sin? czyli sin *2x⁶?

john2: Zewnętrzną jest sinus, wewnętrzną x³ (sinx³)' = cosx³ * (x³)' =

john2: Zawsze sobie zastąp wewnętrzną funkcję czymś: y = x³ (siny)' = tu korzystasz ze wzoru (sinx)' = cosx zauważ, że mógłbyś zapisać ten wzór tak: (sinx) = cosx * (x)' = cosx * 1 = cosx U nas zamiast "x" jest "y", ale to nie ważne. więc (siny)' = cosy * y' Teraz z powrotem zamień y na x³

bolka: najpierw jeszcze wzor, zebym rozwiał swoje wątpliwości, ze to licze źle. f'(g(x)) * g'(x) no to jakim cudem w tym przykladzie też b) na samym koncu bierze się 3x'? rozpisze, jak to robię. wiem, ze sinx'=cosx sin'*x³*3x²? = cos3x⁵

bolka: aa, bo ta zewnętrzna, to POCHODNA, że F', to przez to.. okej! To już z za długiego myślenia.

john2: tam ma być (sinx)' = cosx * (x)' = cosx * 1 = cosx i nieważne

bolka: TO jaki ma być wynik? wczoraj już nie miałem sił na to patrzeć, bo po obfitej dyskusji, nikt nie odpowiedział mi na zasadnicze pytanie, jak WIDZIEĆ zewnętrzną?