Rozwiąż zadanie Sandra: Proszę o rozwiązanie i wytłumaczenie zadania 3−6x+12x²−24x³+...=8x

Kejt: (3−6x)+4x²(3−6x)+...=8x czyli mamy ciąg geometryczny o: a₁=3−6x q=4x² S_n=8x

	a1		3−6x
Sn=		=		//źródło:https://matematykaszkolna.pl/strona/297.html
	1−q		1−4x2

3−6x
	=8x
1−4x2

do rozwiązania. +dziedzina podejrzewam, że inaczej tego nie rozwiążesz niż za pomocą tego wzoru.. więc musimy założyć, że q: −1<q<1 (dołączyć to do dziedziny)

pigor: ..., np. tak : 3−6x+12x²−24x³+...= 8x równanie w którym L−ewa strona to suma ∞ wielu wyrazów ciągu (a_n) geometrycznego o ilorazie q= −2x , która jeśli |q|<1 ⇔ |−2x|<1 ⇔ 2|x|<1 ⇔ |x|<¹₂ ⇔ (*) x∊(−¹₂;¹₂)

	a1		3
będzie zbieżna do liczby S=		=		, a wtedy dane równanie
	1−q		1−(−2x)

	3
przyjmie postać :		= 8x ⇔ 8x(1+2x)=3 ⇔ 16x2+8x−3=0 ⇔
	1+2x

⇔ (4x)²+2*4x*1+1²−4= 0 ⇔ (4x+1)²= 4 ⇔ |4x+1|=2 ⇔ ⇔ 4x+1= −2 v 4x+1= 2 ⇔ 4x= −3 v 4x= 1 ⇔ x= −³₄ v x= ¹₄, a stąd i z dziedziny r. w (*) ⇒ x=¹₄ − szukane rozwiązanie . ...

Janek191: a₁ = 3 q = − 2x i I q I = I − 2x I < 1 Lewa strona

	a1		3
Sn =		=
	1 − q		1 + 2x

zatem

3
	= 8x
1 + 2x

3 = 8x*( 1 + 2x) = 8x + 16 x² 16 x² + 8 x − 3 = 0 −−−−−−−−−−−−− Δ = 8² − 4*16*(−3) = 64 + 192 = 256 √Δ = 16

	− 8 − 16
x=		= −2432 = − 34 ← odpada, bo q = −2*( −3}{4} = − 1,5
	32

oraz I q I > 1

	− 8 + 16		1		1		1
x =		=		I q I = I −2*		I =		< 1
	32		4		4		2

	1
Odp. x =
	4

==============

Janek191: a₁ = 3 q = − 2x i I q I = I − 2x I < 1 Lewa strona

	a1		3
Sn =		=
	1 − q		1 + 2x

zatem

3
	= 8x
1 + 2x

3 = 8x*( 1 + 2x) = 8x + 16 x² 16 x² + 8 x − 3 = 0 −−−−−−−−−−−−− Δ = 8² − 4*16*(−3) = 64 + 192 = 256 √Δ = 16

	− 8 − 16
x=		= −2432 = − 34 ← odpada, bo q = −2*( −3}{4} = − 1,5
	32

oraz I q I > 1

	− 8 + 16		1		1		1
x =		=		I q I = I −2*		I =		< 1
	32		4		4		2

	1
Odp. x =
	4

==============

Sandra: dziekowac