tożsamości trygonometryczne ksm: Sprawdź czy równanie jest tożsamościowe: a) (cosx + sinx)² = sin2x b) cos⁴x − sin⁴x= cos2x

	x		x
c) cosx= cos2		− sin2
	2		2

	x		x
d) (sin		+ cos		)2 = 1+ sinx
	2		2

ICSP: 1. NIe 2. Tak 3. Tak 4. Tak

ksm: a jakieś obliczenia?

ICSP: a) L = (cosx + sinx)² = sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 1 + sin2x ≠ sin2x = P b) korzystasz ze wzoru a² − b² dla lewej strony c) Skorzystaj ze wzoru cos(α + β) dla lewej strony d) wzór (a+b)² − tak samo jak pierwsze Rób

ksm: a już mam, w b mam postać (cos²x − sin²x)(cos²x + sin²x) i co z tym dalej? myślałam, żeby cos²x + sin²x zamienić na 1 tylko skoro to jest ze wzoru skróconego to nie wiem czy tak mogę

ICSP: możesz

ksm: ok. ale co z tym dalej? przepraszam, ale naprawdę tego nie rozumiem.

ICSP: aby udowodnić jakąś tożsamość trygonometryczną musisz wyjść z jednej strony i dojść do drugiej. w b) L = cos⁴x − sin⁴x = cos²x − sin²x = ... Musisz teraz dalej przekształcić wyrażenie cos²x − sin²x tak aby dostać prawą stronę czyli cos2x Otwórz sobie tablice ze wzorami. Będzie łatwiej

ksm: w b doszłam do postaci cosx− sinx. idzie to jeszcze jakoś przekształcić dalej?

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/1543.html − szukaj wzoru na cos2x

ksm:

	x		x
dziękuje. z c kompletnie nie wiem jak, a w d mam 1 + 2sin		cos		co dalej z tym?
	2		2

ICSP: a co masz otrzymać w d ?

ksm: 1 + sinx

ICSP: wygląda podobnie ?

ksm:

	x		x
no niby tak, ale ja mam 2sin		cos		a ma być tylko sinx
	2		2

ICSP: sin2x = 2sinxcosx

	x		x
sinx = 2 * sin		cos
	2		2

sin4x = 2 * sin2x * cos2x . . .

	n		n
sin(nx) = 2 * sin		x * cos		x
	2		2

ICSP: to samo tyczy się cosx

ksm: jeśli to zamienię to zostaje mi 1 + sin2x. i jak z tego ma wyjść 1 + sinx? załamka

ICSP:

	x		x
sin2x = 2sinxcosx ≠ 2sin		cos
	2		2

ksm: czyli tu nie będzie tożsamości

ICSP: będzie Napisałem ci bardzo ładny wzór, który jest warty zapamiętania

	n		n
sin(nx) = 2 * sin		x * cos		x gdzie n ∊ N
	2		2

Podstaw do tego wzoru za n jedynkę i zobacz co się stanie

ksm:

	x		x
wyjdzie to co ja już mam czyli 2sin		cos
	2		2

ICSP: a z lewej strony ?

ksm: no to jest właśnie lewa strona, cały czas ją liczę

ICSP: ale w mojej tożsamości

	n		n
sin(nx) = 2 * sin		x * cos		x
	2		2

Jak podstawisz pod n = 1 dostajesz : i teraz dokończ przykład d

	x		x
d ) 1 + 2 * sin		cos		= ...
	2		2

ksm: zrozumiałam już! a co z c?

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/1545.html − masz tam gdzieś wyprowadzenie cos2x cosx robisz analogicznie

ksm: dziękuję bardzo