dyskretna PuRXUTM: hej f_n+3−3f_n+2+3f_n+1−f_n=5 pierwsze rozwiązuje równanie f_n+3−3f_n+2+3f_n+1−f_n=0 x³−3x²+3x−1=0 x=1 v x=1−√2 v x=1+√2 f_n=a*1ⁿ+b*(1−√2)ⁿ+c*(1+√2)ⁿ I co dalej ?

Krzysiek: x=1, i jest to pierwiastek 3−krotny.

PuRXUTM: a rzeczywiście...a co dalej

PuRXUTM: f_n=a*1ⁿ+b*1ⁿ*n+c*1ⁿ*n²

Krzysiek: no i teraz są problemy i to nawet potrójne Po prawej stronie masz stałą, więc gdyby żaden z 'x' nie byl równy jeden wtedy byś przewidywał rozwiązanie szczególne w postaci: f_n=A (czyli też jakiejś stałej) Jednak dlatego,że pierwiastkiem jest '1' i to potrójnym rozwiązanie trzeba szukać w postaci: f_n=n³*A (gdyby była jedna jedynka to wtedy byłoby n¹*A) A dlaczego tak jest? jakbyś przewidywał: f_n=A to już takie rozwiązanie masz w jednorodnym, czyli dla b=c=0, a=A podobnie dla f_n=nA, a=c=0, b=A itd.

PuRXUTM: hmm, nie czaje, coś babka mówiła że są hece z tą 1 ale sama do końca nie wiedziała o co chodzi...

Krzysiek: Aha, i takie przemnażanie przez 'n' jest nie tylko w przypadku gdy x=1. gdyby przykładowo było: x=2 czyli f_n=a2ⁿ +... a po prawej stronie miałbyś 2ⁿ

PuRXUTM: może inny przykład: a_n=3a_n−1−2a_n−2+3 tej jest łatwiejszy ?

Krzysiek: Czego nie 'czaisz' ? Szukasz rozwiązania szczególnego równania niejednorodnego. WIęc nie możesz szukać rozwiązania które już masz w rozwiązaniu jednorodnym.

Krzysiek: Nie wiem czy łatwiejszy zależy czy znów będziesz mieć jedynkę

PuRXUTM: też jest 1...

PuRXUTM: nie czaje bo nie rozumiem tego przewidywania...możesz to jakoś objaśnić

Krzysiek: To może tak, wiesz jak przewidywać rozwiązania szczególnego?

PuRXUTM: nie, może ten przykład mi wytłumaczysz https://matematykaszkolna.pl/forum/223440.html

Krzysiek: W zależności jaką funkcję po prawej stronie masz to rozwiązanie przewidujesz też w postaci takiej funkcji Po prawej stronie masz: −wielomian stopnia drugiego, np. 2n²+3n+5 to przewidujesz w postaci: An²+Bn+C −funkcja wykładnicza np. e²ⁿ to przewidujesz w postaci: Ae²ⁿ −złożenie powyższych funkcji np. (n³+3)e⁵ⁿ to wtedy (An³+Bn²+Cn+D)e⁵ⁿ

Krzysiek: Napisz konkretnie czego nie rozumiesz, bo nie wiem na jakim etapie się 'zgubiłeś'

PuRXUTM: zacznijmy może od tego przykładu co jest w linku, jakbyś mógł krok po kroku wyjaśnić, dlaczego A+4A+3A, bo nie rozumiem tego

Krzysiek: tak jak pisałem, po prawej stronie masz stałą i przewidujesz rozwiązanie szczególne w postaci: f_n=A wtedy: f_n+1=A (bo A−stała i nie zależy od n) f_n+2=A czyli wstawiając do równania otrzymujesz A+4A+3A=5 To już tak odnośnie ogólnie przewidywania rozwiązania: Możesz też (jak chcesz) nie przejmować się tym,że musisz jakoś inaczej przewidywać, przemnażać przez 'n' itp. Możesz zwyczajnie przewidywać. Tylko wtedy jak wstawisz do równania to otrzymasz sprzeczność (wyzerują się rzeczy) i wtedy wiesz,że musisz przemnożyć rozwiązanie przewidywane przez 'n'. Powtarzasz takie przemnażania aż w końcu zdołasz wyznaczyć stałe i wszystko się nie wyzeruje. Jako przećwiczenie, w tym przykładzie z potrójnym pierwiastkiem '1' przewiduj rozwiązanie w postaci: f_n=A ,potem f_n=n*A itd.

PuRXUTM: czyli A−3A+3A−A=A nA−3nA+3nA−nA=A n³A−3n³A+3n³A−n³A=A coś pewnie źle myślę...

Krzysiek: Po prawej stronie masz znaną stałą! a nie 'A' tylko '5' po drugie jeżeli f_n=n*A to f_n+1=(n+1)A

Krzysiek: no więc w pierwszym równaniu dla f_n=A masz 0=5 czyli sprzeczność, więc próbujesz szukać rozwiązania w postaci: f_n=n*A itd.

PuRXUTM: ok czyli od początku f_n+3−3f_n+2+3f_n+1−f_n=5 za f_n wstawiam A A−3A+3A−A=5 0≠5 teraz za f_n wstawiam n*A (n+3)*A−3*(n+2)A+3(n+1)A−n*A=5 znowu wychodzi 0=5 teraz za f_n wstawiam n²*A (n+3)²A−3*(n+2)²A+3(n+1)²A−n²*A=5 znowu 0=5 teraz za f_n wstawiamy n³A

	5
(n+3)3A−3*(n+2)3A+3(n+1)3A−n3*A=5 po mozolnych obliczeniach wyszło mi że A=
	4

Godzio:

	5
A =
	6

PuRXUTM:

	5
czyli fn=a+bn+cn2+		?
	4

Krzysiek: Czyli ostateczne rozwiązanie to: f_n=rozwiązanie jednorodne+rozwiązanie szczególne=a+bn+cn²+(5/4)n³

PuRXUTM: Godzio proszę, nie mów że się pomyliłem..

Godzio:

	5
Ja to wyliczyłem troszkę innym sposobem, i wyszło		, a tym co Krzysiek podał to już
	6

tylko do wolframa się nadawało i tam też tak wychodzi

PuRXUTM: dobra już mam dość matmy na dzisiaj, dzięki wielkie za pomoc