Wyznacz dziedzinę funkcji Tomek: ¹_{√1−logx(x+2)}

Tomek: zatrzymałem się na tym, ściana Założenia mianownik musi być różny od zera √1−log_x(x+2) ≠ 0 1−log_x(x+2)≠0 log_xx−log_x(x+2) ≠0 ^x_x+2≠0 |*(x+2)² x(x+2)≠0 x₁=0 x₂=−2 D=R\{0,−2}

john2: Mianownik nie może być zerem. Dodatkowo liczba pod pierwiastkiem parzystego stopnia nie może być ujemna, więc: 1 − log_x(x − 2) > 0 Z definicji logarytmu wynika, że x > 0 i x ≠ 1 oraz x − 2 > 0, czyli x > 2 Rozwiązujesz nierówność 1 − log_x(x − 2) > 0 Pytanie tylko, czy na pewno można zastąpić "1" czymś takim, jak "log_xx". Wydaję mi się, że tutaj tak, bo log_xx spełnia warunek x >2.

Tomek: dalej nie wiem jak to zacząć

Tomek: trzeba chyba określić trzy warunki 1. Mianownik nie może być zerem 2. Pierwiastek parzystego stopnia nie może być ujemny 3. Logarytm nie może być mniejszy od zero i nie może być zerem W pierwszym x∊(−∞,−2)∪(0,∞) W drugim x∊(0,∞) W trzecim jest to zbiór liczb R+\(0,1)

john2: Ja bym zrobił tak: − log_x(x − 2) > −1 log_x(x − 2) < 1 log_x(x − 2) < log_xx Tu uwaga: wiemy, że x ma być > 2, więc podstawą nie będzie liczba z zakresu (0, 1), czyli nie zmieniamy znaku nierówności przy opuszczaniu logarytmów. x − 2 < x −2 < 0 Co to oznacza? Zdaje się, że wszystko jest rozwiązaniem tej nierówności poza naszym warunkiem. Więc x ∊ (2, +∞) i to jest naszą dziedziną.

john2: Pierwsze dwa warunki już zawarłem w nierówności 1 − log_x(x − 2) > 0 Liczę dla jakich x to wyrażenie będzie dodatnie (nie będzie ani ujemne, ani nie będzie zerem). Trzeci napisałem pod spodem (x > 2)

Tomek: z tym że w nawiasie jest (x+2)

john2: No tak, moja ślepota się odzywa. A zatem: 1 − log_x(x + 2} > 0 x > 0 i x ≠ 1, oraz x + 2 > 0, czyli x > −2. Część wspólna x > 0 bez 1. 1 − log_x(x + 2} > 0 − log_x(x + 2} > −1 log_x(x + 2} < 1 log_x(x + 2} < log_xx eee i teraz problem, bo nie wiadomo co ze znakiem, niech pomyślę

Tomek: x+2<x x−x<−2 0<−2 Równość nie prawdziwa

john2: http://www.wolframalpha.com/input/?i=1+-+log[x%2Cx%2B2]+%3E+0 Z tego wynika, że x ∊ (0 ,1), ale nie wiem już, dlaczego. Sorry.

john2: Rzecz w tym, że nie możesz opuścić logarytmów przy nierównościach, gdy masz w podstawie x, bo jeśli x jest między zerem a jedynką to zmieniamy znaki, tak jak tu https://matematykaszkolna.pl/strona/252.html My natomiast nie wiemy, bo x może być > 1

john2: https://matematykaszkolna.pl/forum/220990.html