Kto pomoże? Alinka: Która z liczb jest większa log₂₀₀₉2010 czy log₁₀₁₀2011? Ktoś podpowiedział, żeby sprawdzić monotoniczność funkcji y=log_x(x+1) ale też nie wiem jak. Pomocy

daras: https://matematykaszkolna.pl/strona/219.html

daras: https://matematykaszkolna.pl/forum/220123.html

wredulus_pospolitus: tym kimś byłem ja to może tak: 1) granica w +∞

	ln (x+1)		1   x+1
lim logx(x+1) = lim		= H = lim		= 1
	ln x		1   x

2) dla x>1 f(x) = log_x(x+1) > log_xx = 1 3) ciągłość wykazać jeszcze trza 4) jeżeli wykażemy, że funkcja jest monotoniczna (bez określania czy rosnąca czy malejąca) to będziemy wiedzieć, że musi być malejąca A żeby wykazać, że funkcja ciągła (na przedziale (1,+∞) ) jest monotoniczna ... wystarczy, że pokażemy, że jest różnowartościowa.

daras: GG:2489859 skorzystaj z definicji logarytmu: log_ax=y ⇒ a^y =x więc który wykładnik jest większy 2009^y =2010 czy 1010^y =2011 ?

wredulus_pospolitus: (ad 4) dowód nie wprost ∃_m>1 ∃_{x,y >1 , x≠y} log_x(x+1) = log_y(y+1) = m log_x(x+1) = log_y(y+1)

	log(x+1)(y+1)
logx(x+1) =
	log(x+1)y

log_xy = log_(x+1)(y+1) x^m = y ⋀ (x+1)^m = (y+1) x^m + 1 = (x+1)^m

	m i
xm + 1 = ∑i=0m		xm−i1i

	m i
xm + 1 = xm + 1 + ∑i=1m−1		xm−i1i

	m i
0 = ∑i=1m−1		xm−i1i

sprzeczność wniosek ... f(x) jest różnowartościowa na przedziale (1,+∞) skoro jest ciągła (pozostało Ci ten kawałek do wykazania) to jest monotoniczna skoro jej granicą w +∞ jest 1 oraz f(x) ograniczona z dołu przez 1 to jest to funkcja malejąca czyli: log₂₀₀₉2010 > log₂₀₁₀ 2011

Alinka: Dzięki serdeczne

daras: w pierwszym poście były inne podstawy logarytmów więc widać było tę nierówność bez żmudnych obliczeń

Eta: Niech a= log₂₀₀₉2010 , b= log₂₀₁₀2011

	a
jeżeli a>b to		>1
	b

log₂₀₁₀2011 > log₂₀₁₀2009

	a		log20092010		log20092010
to:		=		>		=
	b		log20102011		log20102009

log20092010
	= log22009(2010) >1
1   log20092010

zatem a >b

wredulus: Etus pierwsza nierownosc w druga strone.

Eta: A no tak nie popatrzyłam, ze tam mianownik

wredulus: Poniewaz zmieniasz liczbe w mianowniku z wiekszej na mniejsza

Eta:

wredulus: Probowalem to pjechac wprost z szacowania ... ale do niczego sensownego nie doszedlem dlatego zaproponowalem monotonicznosc funkcji

Eta: Nie pomyśl przypadkiem,że tego nie wiem

daras: daj spokój Alinka już dawno zgubiła ten wątek, tylko my sie bawimy

Alinka: nie zgubiłam śledzę wciąż i bardzo Wam dziękuję