oblicz bor: Mila, Vax, ... moglibyście pomóc mi w tym temacie? 1) Oblicz −69⁻¹ mod 1313

bor:

ICSP: Gdyby nie ten minus przed 69

bor: dobrze przepisałem polecenie, tutaj zastanawiałem się nad odwrotnością w liczbach całkowitych, lecz nie jest napisany żadnej zbiór z jakiego należy korzystać

bor: według wolframa wychodzi 647

Kamil: tu chyba chodzi o element odwrotny w pierścieniu. później pokombinuje, bo kiedyś spotkałem się z identycznym zadaniem. treść jak najbardziej poprawna tylko nie pamiętam metody rozwiązywania, wieczorem w domu sprawdzę to dam znać teraz nie mam zeszytów bo w pracy siedzę

Kamil: a nie −647 ?

bor: a może wiecie jak obliczyć a,b, które spełniają to: 333 * a + 1234 * b = 1, oraz ile wtedy wynosi 333⁻¹ w zbiorze Z₁₂₃₄ ?

bor: tak 647

bor: może ktoś zerknąć ?

Vax: Wyznaczając element odwrotny do danego w pewnym pierścieniu korzystamy z rozszerzonego algorytmu Euklidesa. Pewien przykład opisałem kiedyś tutaj: https://matematykaszkolna.pl/forum/102617.html Chcąc obliczyć −69⁻¹ mod 1313 obliczamy na początku 69⁻¹ mod 1313, czym okazuje się być 647 (postępując jak opisałem w podanym linku), więc −69⁻¹ = −647 = 666 mod 1313. Co do równania 333a + 1234b = 1 to rozpatrując to mod 1234 dostajemy 333a = 1 mod 1234, wyznaczamy 333⁻¹ = 63 mod 1234, więc a = 63 mod 1234 ⇔ a = 1234t+63, skąd wstawiając do wyjściowego równania otrzymujemy b = −333t−17, dla dowolnego t ∊ ℤ

bor: dziękuję bardzo, wiesz może jak zapisac coś takiego : 220609

bor: a ile wtedy wynosi 333⁻¹ dla Z₁₂₃₄ ?

Vax: Napisałem, 333⁻¹ = 63 mod 1234.

bor: dziękuje za pomoc, mógłbym prosić jeszcze o pomoc przy 2 zadaniach ?

Vax: Możesz napisać, jeżeli będę umiał to pomogę, jak nie to może ktoś inny

bor: 1) Mając 3 moduły 5, 7 oraz 9, wylicz wyrażenie 100 + 4 * 39, 16 * 16, 2⁷ (wykorzystujemy a. modul) 2) Wyznacz podzielną liczbę przez siedem, będąca tak blisko jak to możliwe 10¹⁰⁰⁰⁰⁰ 3) Przedstaw postać liczb podzielnych przez trzynaście, będące blisko jak to możliwe stworzonej z 1 oraz miliona 0. Czy może ona jest podzielna przez trzynaście ?

Vax: W 1 chodzi o policzenie pierwszego wyrażenia modulo 5, drugiego modulo 7 a trzeciego modulo 9 ? Jak tak, to spróbuj to zrobić samemu, zrobię pierwszy przykład żebyś miał się na czym wzorować: 100+4*39 = 4*4 = 16 = 1 mod 5 (gdyż 100 = 0 mod 5, 39 = 4 mod 5) W 2 znajdujemy resztę z dzielenia 10¹⁰⁰⁰⁰⁰ przez 7, korzystamy z tego, że 3³ = −1 mod 7: 10¹⁰⁰⁰⁰⁰ = 3¹⁰⁰⁰⁰⁰ = 3 * 3⁹⁹⁹⁹⁹ = 3*(3³)³³³³³ = 3*(−1)³³³³³ = −3 = 4 mod 7 Skąd najbliższą liczbą podzielną przez 7 jest 10¹⁰⁰⁰⁰⁰+3 W 3 postępujemy podobnie jak w 2, znajdujemy resztę z dzielenia 10^1000000 przez 13, korzystamy z tego, że 3³ = 1 mod 13: 10^1000000 = (−3)^1000000 = 3^1000000 = 3*(3³)³³³³³³ = 3*1 = 3 mod 13 Skąd liczbą spełniającą tezę jest 10^1000000−3

bor: w zadaniu 1 chyba nie chodzi o to, aby kolejnie to obliczyć, ale nie wiem w jakiej kolejności

Vax: W takim razie dopóki nie będę wiedział o co chodzi w zadaniu nie będę mógł Ci pomóc