indukcja matematyczna
PuRXUTM: Udowodnij, stosując zasadę indukcji, że dla n∊N:
30|n5−n
dla 5|n5−n umiem udowodnić ale dla 30 nie...
7 lis 17:33
5-latek: No musi byc podziene przez 6 i 5 zeby bylo podzielne przez 30
7 lis 17:42
PuRXUTM: tylko jak to udowodnić
7 lis 17:49
PuRXUTM: up
7 lis 18:04
PuRXUTM: up
7 lis 18:21
PuRXUTM: up
7 lis 18:31
ICSP: a co oznacza zapis :
30 | n5 − n ?
7 lis 18:31
PuRXUTM: że n5−n jest podzielne przez 30 czyli że jest podzielne przez 6 i przez 5. Przez 5 potrafię
pokazać ale że przez 6 to nie...
7 lis 18:35
ICSP: nie o to pytam :
Jak inaczej można zapisać :
30 | n5 − n
7 lis 18:36
ICSP: bo jeśli dobrze rozumiem ma być to dowód indukcyjny ?
7 lis 18:37
PuRXUTM: tak ma to być dowód indukcyjny
Z: 30 | n
5 − n ⇔ ∃ k∊ Z : n
5−n=30k
T: 30 | (n+1)
5−(n+1)
(n+1)
5−(n+1) =n
5+5n
4+10n
3+10n
2+5n−n=30k+5n
4+10n
3+10n
2+5n no i co dalej
7 lis 18:44
PuRXUTM: up
7 lis 19:02
Mila: 30|(n5−n)
10 n=1
15−1=0 , 30|0
20 Niech k będzie dowolną ustaloną liczbą naturalną.
Pokażemy,że jeżeli liczba (k5−k) jest podzielna przez 30, to również liczba [(k+1)5−(k+1)]
jest podzielna przez 30.
Z. (k5−k)=30*m, m∊C
T: [(k+1)5−(k+1)] =30 s, s∊C
D:
(k5−k)=30*m, m∊C⇔k(k4−1)=30m
L= [(k+1)5−(k+1)] =
=k5+5k4+10k3+10k2+4k=
=(k5−k)+5k4+10k3+10k2+5k=
=30m+5k(k3+2k2+2k+1)=
30m+5k*(k+1)*(k2+k+1)=30s, s∊C
Liczba k*(k+1)(k2+k+1) =k*(k+1)*[k2+2k−k+1]=k*(k+1)*[(k(k+2)−(k−1)]=
=k*(k+1)*k*(k+2)−k*(k+1)*(k−1) =6p, p∊C jako różnica iloczynów podzielnych przez 6.
7 lis 19:12
PuRXUTM: Dzięki wielkie Milu
nigdy bym nie wpadł na takie rozpisanie...
7 lis 19:26
Mila:
Ten dowód lepiej zrobić bez indukcji.
7 lis 19:27
PuRXUTM: tego dowodu lepiej w ogóle nie robić
Mam jeszcze takie coś
Jeśli x
1, x
2,...,x
n >0 oraz x
1*x
2*...*x
n=1, to x
1+x
2+...+x
n≥n
Wniosek: nierówności między średnimi: arytmetyczną, geometryczną i harmoniczną
pomożesz
7 lis 19:32
PuRXUTM: up
7 lis 19:55
Mila: Cierpliwości trochę.
7 lis 19:59
Saizou :
am≥gm
| a1+a2+...an | |
| ≥n√a1*a2*...an |
| n | |
a
1+a
2+...+a
n≥n
czy jakoś tak
7 lis 19:59
Mila:
To zadanie 19:32 masz zrobić za pomocą indukcji?
7 lis 20:29
PuRXUTM: Dzięki
7 lis 20:29
PuRXUTM: tak
7 lis 20:29
Mila:
No to pisać, czy wystarczy Ci rozwiązanie Saizou?
7 lis 20:31
PuRXUTM: pisz bo rozwiązanie Saizou nie jest przez indukcję
7 lis 20:34
Krzysiek: Korzystając z tego tw. masz wykazać tw. o średnich a nie odwrotnie, przynajmniej tak z treści
zadania wynika.
7 lis 20:39
Mila:
Jeśli x1, x2,...,xn >0 oraz x1*x2*...*xn=1, to x1+x2+...+xn≥n
10
dla n=1 mamy
x1=1
2) Niech k będzie dowolną ustaloną liczbą naturalną, k≥1
Jeżeli x1, x2,...,xk >0 oraz x1*x2*...*xk=1, to x1+x2+...+xk≥k to prawdą jest, że
x1, x2,...,xk ,xk+1>0 oraz x1*x2*...*xk*xk+1=1, to x1+x2+...+xn+xk+1≥k +1
Zał. indukcyjne:
Jeżeli x1, x2,...,xk >0 oraz x1*x2*...*xk=1, to x1+x2+...+xk≥k
T.x1, x2,...,xk ,xk+1>0 oraz x1*x2*...*xk*xk+1=1, to x1+x2+...+xn+xk+1≥k +1
D:
Rozważmy dowolne liczby: x1,x2,.....xk>0, i takie że x1*x2*...*xk=1,
zakładamy ,że xk jest najmniejszą z liczb i xk≤1 oraz xk+1 jest największą z tych liczb
i xk+1≥1, wtedy iloczyn:
(xk−1)*(xk+1−1)≤0⇔
xk*xk+1−xk−xk+1+1≤0⇔
(1) xk+xk+1≥xk*xk+1+1
L=x1+x2+...+xn−1+xk+xk+1=x1+x2+...+xk−1+xk*xk+1≥k z założenia indukcyjnego
(2) x1+x2+...+xk−1+xk*xk+1≥k dodaję stronami (1) i (2)
Otrzymuję:
x1+x2+...+xk−1+xk*xk+1+xk+xk+1≥k+xk*xk+1+1⇔
x1+x2+...+xk−1+xk+xk+1≥k+1
cnw
7 lis 21:39
PuRXUTM: dzięki Milu, ale to jest jakaś masakra, nie wiem czy to zrozumiem
tam w 7 i 10 linijce
zamiast x
n ma być x
k nie ?
7 lis 21:49
Mila:
xk −1 oczywiście. Odłóż, będziesz wypoczęty, napiszesz na kartce, zrozumiesz, na pytania
odpowiem.
7 lis 21:52
PuRXUTM: dziękuję jeszcze raz
bo chyba z godzinę na to poświęciłaś
7 lis 21:55
Maslanek: Nie podoba mi się to przejście przy lewej stronie
Tam nie powinno być równości i założenie jest wykorzystane nie tak chyba
(bo to nie
założenie
)
7 lis 21:55
7 lis 21:56