Granica ciągu Maslanek: Witam! Mam problem Proszę o pomoc Wyznaczyć granicę ciągu:

	1		1		1		1
an=		+		+		+...
	n+1		n+2		n+3		2n

Krzysiek:

	1		1		1		1
an=∑k=1n		=		∑k=1n		=∫01		dx=ln2
	n+k		n		1+k/n		1+x

Maslanek: Jeśli chodzi o zmianę granicy całkowania, to rozumiem, ale samego tego jak się to wzięło, to nie

Maslanek: Oszacowałem to tak:

	1		1		1		1
an=		+		+		+...		=
	n+1		n+2		n+3		2n

	2n[()()()+()()()+()()()]+()()()()()
	2n*()()()()()()

Oszacowanie dolne − zostawiam mianownik, zmniejszam licznik: (n−1) − liczba wyrazów dodawanych w pierwszym składniku

	1		2nn−1(n−1)+nn−1		2nn−nn−1
n*		=1 ≥ an ≥		=
	n		2nn+...		2nn+...

I przykładając granicę (ciągi monotoniczne, ograniczone): Byśmy mieli: 1 ≥ lim a_n ≥ 1. Co w tym jest nie tak?

Maslanek: Właściwie to nawet (n−2) − liczba wyrazów w nawiasie

Krzysiek: korzystasz z definicji całki. Δx_k=1/n

	k
ξk=
	n

k=1,...,n

	1
f(x)=
	1+x

	1		1
Sn=∑an=		∑k=1n
	n		1+k/n

(S_n=∑_k=1ⁿf(ξ)Δx_k )

	1
limn→∞Sn=∫01		dx
	1+x

Krzysiek: oczacować jest łatwo: jeżeli pozbędziemy się 1,2,...,n z minaownika i policzymy sumę:

	1
n*		=1 i jest to ograniczenie górne
	n

a jeżeli zamiast 1,2..,,,n−1 damy wszędzie 'n' to wtedy mamy ograniczenie dolne:

	1
n*		=1/2
	2n

zatem: 1/2≤a_n≤1 A nie bardzo wiem co Ty tam napisałeś

Maslanek: Chciałem policzyć granicę wykorzystując twierdzenie o trzech ciągach. Sprowadziłem wszystko do jednego mianownika tworząc pewien wielomian w liczniku i mianowniku, gdzie najwyższe potęgi były nⁿ. Przykładając granice teoretycznie do wszystkich składników mojej nierówności otrzymałbym L=1, P=1, więc L≥lim a_n≥P, skąd lim a_n=1. Tylko tak nie jest . Dlaczego?

Maslanek: Podbijam Dalej chciałbym wiedzieć, co z tym nie tak Z chęcią odpowiem na wszelkie pytania o sposób myślenia

Krzysiek: myślałem,że już to wyjaśniłem. Nie rozumiem jak Ty to ograniczałeś, a jak ja to ograniczałem już napisałem.

Maslanek: Tak, wiem Spróbuję wytłumaczyć (chciałem policzyć granicę, korzystając z twierdzenia o trzech ciągach): − sprowadzam wszystko do wspólnego mianownika − w pierwszych (n−1) składnikach w liczniku występuje 2n − więc wyłączam je przed nawias − w nawiasie najwyższą potęgą będzie nⁿ⁻² − jednocześnie w nawiasie jest suma (n−2) składników o potędze nⁿ⁻² − ostatni składnik licznika, to (n+1)(n+2)(n+3)...(2n−1), gdzie składnik z najwyższą potęgą, to nⁿ⁻¹ * z 2n*(nawias) mam składnik o najwyższej potędze następujący: 2n*(n−2)*nⁿ⁻²=2nⁿ−4nⁿ⁻¹ (1) dodając składniki w liczniku o dwóch najwyższych potęgach mam: 2nⁿ−3nⁿ⁻¹ Zatem licznik przybliżam do (1) − w mianowniku mam 2n*(n+1)(n+2)..., więc najwyższa potęga powinna być postaci 2nⁿ, reszta po prostu jest . Mianownik zostawiam w spokoju Więc ciąg ograniczam dwoma ciągami z góry i z dołu w ten sposób:

	1		2nn−3nn−1
n*		=1 ≥ an ≥
	n		2nn+...

Przykładając obustronnie granicę: 1 ≥ lim a_n ≥ 1 I jak?

Krzysiek: z mianownikiem jest problem (nie wiem czy z resztą także) czemu np. ze składnika (2n−1) nie wyciągnąć 2n?

Maslanek: Też się nad tym zacząłem zastanawiać jak zacząłem pisać objaśnienie

Maslanek: Ale z drugiej strony w liczniku byłoby podobnie, gdyby tak to rozpatrywać

Krzysiek: wolfram mówi,że mianownik przez nⁿ →∞, więc jak podzielisz licznik i mianownik przez nⁿ to mianownik zmierza do ∞, a licznik pewnie też zmierza do ∞ co doprowadziłoby do symbolu nieoznaczonego więc ciężko byłoby policzyć granicę...

Maslanek: Dziękuję serdecznie W takim razie potrzeba mi jeszcze trochę narzędzi Dzięki za trud

Mila: To wredna granica.