Problem Piotr 10: Wykaż, że liczba 19¹¹ − 3¹¹ jest podzielna przez 13. Próbowałem tu zastosować wzory skróconego mnożenia, ale i tak do niczego konkretnego nie doszedłem. Proszę o wskazówkę

Saizou : tam na pewno jest 19 albo 3

Piotr 10: Tak na pewno 100%. Mam też jeszcze jedno podobne i też nie wiem jak ruszyć: Wykaż, że liczba 10ⁿ+4ⁿ − 2 jest podzielne przez 3.

Piotr 10: I jak Saizou masz jakiś pomysł ?

Saizou : na razie na mam pomysłu a w tym drugim n∊N

Piotr 10: Drugie zadanie mam takie dokładnie(nic nie mam napisane o n) Wykaż, że liczba 10ⁿ + 4ⁿ − 2 jest podzielna przez 3.

Saizou : a skąd masz te zadanka?

Piotr 10: Od pani profesor ze szkoły. Dała mi kartkę z zadaniami. I wszystkie umiem zrobić, tylko tych dwóch nie potrafię ruszyć w ogóle

Saizou : mam pomysł co do drugiego 10ⁿ+4ⁿ−2= 10ⁿ−1+4ⁿ−1= (10−1)(10⁹+10⁸+...10+1)+(4−1)(4³+4²+4+1)= 9*(10⁹+10⁸+...+10+1)+3*(4³+4²+4+1)

Piotr 10: Faktycznie wzór: aⁿ − 1 = (a−1)(1+a+...+aⁿ⁻¹

Piotr 10: (10−1)(1+10+..+10ⁿ⁻¹)+(4−1)(1+4+...+4ⁿ⁻¹) Tak nie powinno być

Saizou : tak, mają być "n"−y, ale pisząc to nie wiem o czym myślałem

Piotr 10: Nawet w tablicach ten wzór jest . Jeszcze pierwsze zadanko zostało

Saizou : pierwsze jest na pewno podzielne przez 16

Piotr 10: Treść na 100% jest dobrze przepisana, sprawdzałem kilka razy . Ja idę, jak będziesz miał pomysł to napisz, będę bardzo wdzięczny

Godzio: Ta liczba na pewno nie dzieli się przez 13

Saizou : a czemu nie? jeśli można się dowiedzieć ?

Saizou : a może miało być 29¹¹−3¹¹

Godzio: Wolfram mi powiedział

Saizou : a to cwany Wolfram

Mila: 10≡1(mod3) 10ⁿ≡1(mod3) 4≡1(mod3) 4ⁿ≡1(mod3) 10ⁿ+4ⁿ≡2(mod3) /−2 10ⁿ+4ⁿ−2≡0(mod3)⇔3|(10n+4n−2)

Saizou : Milo witaj, Kongruencji nie ma w programie w LO, przynajmniej nie w roczniku '95

wojtekx: witam czy mógłby mi ktoś pomóc? https://matematykaszkolna.pl/forum/218688.html

Piotr 10: Czyli na to wychodzi, że ta liczba nie jest podzielna przez 13, tak?

Saizou : tak mówi Wolfram, ale ja będę obstawiać że miało być 29¹¹−3¹¹

Piotr 10: Ok. Dowiem się w poniedziałek dopiero na temat poprawności tego zapisu . Dzięki za pomoc

matyk: Zapewne autor chciał, żeby była podzielna.

Saizou : gdyby tak było jak mówię to mamy wzór aⁿ−bⁿ i byśmy mieli (29−3)*W= w− to część wzoru, tylko nie chce mi się rozpisywać 23*W= 2*13*W gdzie W∊C

Piotr 10: Racja Saizou zapewne tak, nawet te zadanie drugie na tym się opierało

Mila: Do 15:47 Dobrze z 4, ale z 10ⁿ−1 wystarczy zauważyć,że to liczba , której cyfry to ma same 9, zatem dzieli się przez 3.

Saizou : oczywiście miało być 26*W

Mila: Witam, maturzystów.

matyk: Witam Mila (ja już po )

Saizou : ja już za niedługo również pa maturze

matyk: Ja bym chciał mieć tyle lat co na maturze Teraz to już stary jestem

Saizou : wiek to tylko liczby, ważne jak się czujesz duchem

Mila: Też chciałabym mieć tyle lat co na maturze. Było pięknie.

matyk: Mila Pozostaje nam słowo było

Mila: No i pięknie dla nas, że jesteśmy.