analiza PuRXUTM: Znalazłby się ktoś chętny i mi pomógł w analizie Niech (an)^∞ _n=1 ∊ (R\{0})ⁿ będzie ciągiem zbieżnym do 0. Pokaż, że lim_n→∞ (1+a_n)^1/a_n=e pierwsze pytanie czy to jest na moje możliwości ( pierwszy miesiąc studiów) jak tak to proszę o wskazówki

Vax:

	ln(1+x)
Podpowiedź: x = elnx, oraz limx→0		= 1
	x

Vax: W ten sposób możesz dowieść, że dla dowolnego ciągu a_n → 0 i dowolnego ciągu b_n zachodzi lim_n→∞(1+a_n)^b_n = e^{lim_n→∞ a_nb_n}

PuRXUTM: dobra Vax podpowiedzi mi nie wiele dają... jak możesz to rozpisz mi to całe bo nie wiem dlaczego np. pojawia się bn

Vax: lim_n→∞(1+a_n)^1/a_n = e^{lim_n→∞ ln(1+a_n)1/a_n} = e^{lim_n→∞ (ln(1+a_n))/a_n} = e¹ = e

Vax: To co napisałem w 2 poście to po prostu uogólnienie tego co masz pokazać, tj to co pokazałem

	1
wyżej to szczególny przypadek, gdy bn =
	an

PuRXUTM:

	ln(1+x)
a skąd wziąłeś że limx→∞		=1 wiem że to to samo co ln(1+x)1/x=1 a dlaczego
	x

tak jest

Vax: Tam nie masz x→∞ tylko x→0 (w końcu mamy a_n → 0). Wstawiając x = 0 dostajemy symbol

	0
nieoznaczony		, więc możemy skorzystać z reguły de l'Hospitala otrzymując
	0

	ln(1+x)		(ln(1+x))'		1
limx→0		= limx→0		= limx→0		= 1
	x		(x)'		1+x

PuRXUTM: haha ta de l'Hospitala.... czyli kolejne zadanie nie dla mnie...

PuRXUTM: zerknij na to https://matematykaszkolna.pl/forum/218458.html może to jest na moje możliwości...choć wątpie

Godzio: Można też tak o ile znasz tą drugą granicę ln(1 + x) = t → 0 x = e^t − 1

t		1
	=		→ 1
et − 1		et − 1   t