Równanie l. zespolonych zuz: Wyznacz wszystkie liczby zespolone z spełniające dane równanie: z⁶=(2+i√20)⁶

Krzysiek: podobne: https://matematykaszkolna.pl/forum/216983.html

zuz: tylko ten √20 mnie przeraża, możektoś pokazać krok po kroku?

Krzysiek: zobacz na mój post w tym linku, przecież z tym pierwiastkiem nic nie robisz więc nie wiem czemu ma cię przerażać...

zuz: nie potrafię wyliczyć argumentu dla √20

zuz: konkretnie dla liczby zespolonej 2+i√20

Krzysiek: a popatrzyłaś na mój post? czy ja tam wyznaczałem argument?

Mila: z⁶=(2+2√5 i)⁶

zuz: no nie, ale nie wiem skąd takie rozwiązanie

Krzysiek:

	φ+2kπ		φ+2kπ
z1/n=|z|1/n(cos(		)+isin(		))=
	n		n

	φ		φ		2kπ		2kπ
=|z|1/n(cos(		)+isin(		))(cos(		)+isin(		))
	n		n		n		n

	φ		φ
gdzie |z|1/n(cos(		)+isin(		)) to jest jedno z rozwiązań
	n		n

zuz: przykro mi dalej nie rozumiem, dziekuje za chec pomocy

Krzysiek: jedno z rozwiązań już masz: a jest to: 2+√20i i wystarczy teraz podstawiać kolejne 'k' otrzymując kolejne rozwiązanie: w powyższym poście k∊{0,1,..,n−1}

zuz: te zaleznosci w poscie z gdz. 19:16 są jakimiś wzorami z ktorych mozna zawsze korzystac?

zuz: pierwszy raz się z nimi stykam

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Liczby_zespolone#Mno.C5.BCenie podobnie dzielenie z₁/z₂ to iloraz ich modułów i różnica argumentów.

zuz: nie ma jakiegos innego sposobu?

Krzysiek: w pierwszym linku który podałem, Mila przecież w inny sposób podała.

Mila: Sposób Krzyśka jest naprawdę prosty. Korzystasz ze wzorów skróconego mnożenia do rozłożenia na iloczyn, ale to więcej rachunków (z⁶−(2+2√5i)⁶)=0 ze wzoru a²−b²=(a−b)(a+b); a=z³, b=(2+2√5i)³) ((z³−(2+2√5i)³)*(z³+(2+2√5i)³)=0 ze wzoru a³−b³=... i (a³+b³)=a²−ab+b² (z−(2+2√5i)*(z²+z*(2+2√5i)+2+2√5i)*(z(2+2√5i)(z²−z*(2+2√5i)+2+2√5i)=0 z=(2+2√5i) lub z=−(2+2√5i) i masz dwa równania kwadratowe 1) (z²+z*(2+2√5i)+2+2√5i)=0 lub (z²−z*(2+2√5i)+2+2√5i)=0 i liczysz delty.

Mila: Tam brak kwadratu: Trzy ostanie linijki. Zaraz poprawię: (z−(2+2√5i)*(z²+z*(2+2√5i)+(2+2√5i)²)*(z+(2+2√5i)*(z²−z*(2+2√5i)+(2+2√5i)²)=0 z=(2+2√5i) lub z=−(2+2√5i) i masz dwa równania kwadratowe 1) (z²+z*(2+2√5i)+(2+2√5i)²=0 lub (z²−z*(2+2√5i)+(2+2√5i)²=0 i liczysz delty.