Indukcja Edward: Pokazac (indukcyjnie), ze: n

	n k
∑		= 2n

k=0 Dla kazdego n∊ℕ Czy to znaczy to samo co nizej?

n 0		n 1		n n−1		n n
	+		+ ... +		+		= 2n?

Vax: https://matematykaszkolna.pl/forum/215312.html zadanie 6

Edward: A jak mam tutaj wykoanc krok pierwszy? Bo wlasciwie to nie wiem, jak lewa strona powinna wygladac dla n=1...

Edward:

1 0		1 1
	+		?

Nie śpię bo liczę Δ: Vax z jakich książek Ty się uczysz np geometrii ?

Edward: Krok pierwszy

1 0		1 1
	+		= 21

1 + 1 = 2 L = P Krok drugi. Zalozenie:

n 0		n 1		n n−1		n n
	+		+ ... +		+		= 2n

Teza:

n+1 0		n+1 1		n+1 n		n+1 n+1
	+		+ ... +		+		= 2n+1

Czy jak dotad jest dobrze?

Vax: Tak, teraz zauważ, że 2ⁿ⁺¹ = 2*2ⁿ, więc korzystając z założenia indukcyjnego masz dowieść, że:

n+1 0

n+1 n

n+1 n+1

n 0

n 1

n n−1

n n

+ ... +

+

= 2

+2

+...+2

+2

	n k−1		n k		n+1 k
Skorzystaj tutaj z tego, że		+		=

@Nie śpię bo liczę Δ, przerabiając geometrię robiłem zadania głównie z książki ,,zadania z olimpiad matematycznych z całego świata planimetria i stereometria" H. Pawłowskiego oraz z pdfa: users.v−lo.krakow.pl/~climek/ebooki/pompe.pdf

Nie śpię bo liczę Δ: Nie mogę wejść w tego pdf co mi podałeś

Vax: http://users.v-lo.krakow.pl/~climek/ebooki/pompe.pdf

Edward:

n+1 0		n+1 n+1		n+1 1		n+1 3		n+1 n−2		n+1 n
	+ ... +		= 2[		+		+ ... +		+		]

n+1 0		n+1 2		n+1 n−1		n+1 n+1		n+1 1		n+1 3
	+		+ ... +		+		=		+		+ ... +

	n+1 n−2		n+1 n
		+

Tak kombinowac, czy cos innego powinienem zauwazyc?

Vax: Zauważ, że:

	n 0		n 1		n n
2		+2		+...+2		=

n 0

n 0

n 1

n 1

n 2

n 2

n 3

n n−1

n n

+ (

+

) + (

+

) + (

+

) + ... + (

+

)

	n n
+		=

n 0		n+1 1		n+1 2		n+1 3		n+1 n		n n
	+		+		+		+ ... +		+		=

n+1 0		n+1 1		n+1 n		n+1 n+1
	+		+ ... +		+

	n 0		n+1 0		n n		n+1 n+1
Bo		=		oraz		=

Edward: Albo mozna po prostu pozniej odjac stronami i powstaje cos takiego?

n+1 0		n+1 n+1		n 0		n n
	+		=		+

0 + 1 = 0 + 1? Dzieki, zaraz jeszcze wrzuce chyba kilka zadan, ktorych nie do konca rozumiem.

Edward: Powinno byc chyba raczej: 1 + 1 = 1 + 1, tak?

Vax: Tak, można przyrównać przedostatnią linijkę do tego co mamy pokazać i poskracać sobie już te

	n+1 0
same składniki, nie ma to znaczenia, tylko wydłuży to trochę dowód I tak,		=

	n+1 n+1
		= 1

Edward: Udowodnic, ze: n

	n k
∑ (−1)k		= 0

k=0 Krok pierwszy n = 1

	1 0		1 1
(−1)0 *		+ (−1)1 *		= 0

1 * 1 + (−1) * 1 = 0 0 = 0 Krok pierwszy poprawny?

Vax: Tak, ale musi to być indukcyjnie ? Istnieją o wiele szybsze i ładniejsze dowody tych tożsamości

Edward: Raczej indukcyjnie, bo indukcje przerabiamy i to sa zadanka do udowodnienia indukcyjnie. Zal.

	n 0		n 1		n n−1		n n
(−1)0		+ (−1)1		+ ... + (−1)n−1		+ (−1)n		= 0

Teza:

	n+1 0		n+1 1		n+1 n		n+1 n+1
(−1)0		+ (−1)1		+ ... + (−1)n		+ (−1)n+1		= 0 ⇔

	n+1 0		n+1 1		n+1 n		n+1 n+1
⇔		−		+ ... +		−		= 0, chociaz tutaj nie jestem pewien

co do znakow na koncu...bardziej strzelam, moglby mi ktos wyjasnic, jakie znaki tam powinny byc?

Edward: Ostatniego wersu chyba nie moge napisac w ten sposob, bo nie wiem, czy n+1 bedzie parzyste, czy nie, wiec ciezko stwierdzic, jakie beda te znaki na koncu...czy tak?