analiza matematyczna PuRXUTM: wypiszę tutaj wszystkie zadania które mam jeszcze na jutro, jeśli ktoś któreś pomoże będę bardzo szczęśliwy

	ex−e−x
1) Definiujemy tgh x :=		. Wyznacz wzór na tgh−1x
	ex+e−x

2) Wykaż że dla dowolnej liczby rzeczywistej a>−1 i dowolnego n∊N zachodzi nierówność (zwana nierównością Bernouliego): (1+a)ⁿ≥1+na 3) Udowodnij wzór dwumianowy Newtona:

	n k
(a+b)n=∑k=0 n		ak bn−k

4)Wykaż że dla każdego n∊N:3|10ⁿ+4ⁿ−2 5) Proszę wykazać następujące nierówności: a)∑_i=1 ⁿ ai=a_n+2−1 b)∑_i=1 ⁿ ai²=a_n*a_n+1

	3
c)an>(		)n−2
	2

ciąg dalszy niestety nastąpi

Basia: jeżeli nikt Ci wcześniej nie pomoże to podbij tak koło 18:30 bo mniej więcej do tej pory będę zajęta ale w tym (5) czegoś brakuje; a_n = bo ogólnie to przecież nieprawda

PuRXUTM: 6) Pokaż że zbiór n−elementowy ma 2ⁿ podzbiorów 7) Udowodnij równość

	1		1		1		1		1		1		1		1
1−		+		−		+...+		−		=		+		+...+
	2		3		4		2n−1		2n		n+1		n+2		2n

8) Udowodnij że dla każdego n∊N n≥3 : nⁿ⁺¹>(n+1)ⁿ Dobra więcej nie daje ( zostało jeszcze 5 zadań...)

PuRXUTM: niestety nie podbije wtedy bo mam wf od 18−19.15. Jeśli będziesz mogła coś pomóc to będę bardzo wdzięczny Przerażają mnie te studia...

Basia: pomogę, ale musisz też sam się jednak starać próbuj bo inaczej się nie nauczysz

PuRXUTM: wiem wiem Basiu staram się ale no siadam nad zadaniem i nie ogarniam... nad tamtymi co teraz wrzuciłem to nie siedziałem jeszcze ale wole jak coś nie będę wiedział mieć rozwiązane, co do 5c) tak mam na kartce

Basia: no to czegoś nie dopisałeś musi tam gdzieś być a_n opisane to dotyczy całego zadania 5

PuRXUTM: a no tak przepraszam to jest ciąg Fibonacciego a₁=1 a₂=1 a_n+2=a_n+a_n+1 głupio mi tak każde zadanie na forum wrzucać ale serio nie ogarniam

PuRXUTM: dzisiaj też wykład na początku spoko 15 min, myślałem sobie że tylko na pierwszym tak zaszalał, a później jak zaczął nawalać to masakra...

Mila: Tu masz (3 i 2 ) 6) Korzystając z wzoru : (a+b)ⁿ=

	n 0		n 1		n n−1		n n
=		an*b0+		an−1*b1+......+		a1bn−1+		a0*bn

po podstawieniu za a=1 i b=1 mamy

	n 0		n 1		n 2		n n−1		n n
(1+1)n=		+		+		+.......+		+		z prawej strony to jest suma

wszystkich podzbiorów zbioru n− elementowego A

n 0
	− jeden podzbiór pusty

n 1
	−liczba podzbiorów jednoelementowych zbioru n− elementowego

n 2
	−liczba podzbiorów dwuelementowych

. .

n n
	− jeden zbiór A jako podzbiór.

n 0		n 1		n 2		n n−1		n n
	+		+		+.......+		+		=2n

Mila: Witaj Basiu, resztę zostawiam dla Ciebie. Nie wiem, czy dalej można indukcją, czy inaczej. Mogę jeszcze coś zrobić.

Vax: 1) (Zbiorem wartości tangesa hiperbolicznego jest (−1 ; 1)):

	ex−e−x		e2x−1
y =		=		⇔ ye2x+y = e2x−1 ⇔ e2x =
	ex+e−x		e2x+1

	1+y		ln((1+y)/(1−y))		ln((1+x)/(1−x))
		⇔ x =		, czyli tgh−1(x) =
	1−y		2		2

2) Indukcyjnie, dla n=1 działa, załóżmy, że dla pewnego n mamy (1+a)ⁿ ≥ 1+na, wtedy (1+a)ⁿ⁺¹ ≥ (1+a)(1+na), mamy więc pokazać (1+a)(1+na) ≥ 1+(n+1)a ⇔ 1+a(n+1)+na² ≥ 1+(n+1)a ⇔ na² ≥ 0 co jest prawdą.

	n k		n k+1		n+1 k+1
3) Indukcyjnie, jeżeli działa dla n, to (korzystamy z		+		=		):

	n 0		n 1		n n−1		n n
(a+b)n+1 = (a+b)*(		an +		an−1b + ... +		abn−1+		bn) =

n+1 0

n 0

n 1

n 1

n 2

n n−1

an+1 + an*b(

+

)+an−1b2(

+

)+...abn(

+

n n		n+1 n+1		n+1 0		n+1 1
	)+		bn+1 =		an+1 +		anb +

	n+1 2		n+1 n		n+1 n+1
		an−1b2+...+		abn+		bn+1

4) 10ⁿ+4ⁿ−2 = (10ⁿ−1) + (4ⁿ−1) = 9(1+10+10²+...+10ⁿ⁻¹)+3(1+4+...+4ⁿ⁻¹) Oba składniki są podzielne przez 3, więc ich suma również. 5) a) Indukcyjnie, dla n=1,2 działa, zakładamy, że działa dla n=1,2,...,k gdzie k ≥ 2, wówczas: f_k+1−1 = f_k+f_k−1−1 = f_k−1 + (f_k−1) = f_k−1 + f_k−2 + ... + f₂ + f₁ cnd. b) http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/95/FibonacciBlocks.svg/270px-FibonacciBlocks.svg.png c) Dla n=1,2 działa, zakładamy, że działa dla n=1,2,..,k , k ≥ 2, wtedy:

	3		3
fk+1 = fk+fk−1 > (		)k−2+(		)k−3 (*), chcemy pokazać, że (*) >
	2		2

	3		3
(		)k−1, co po obustronnym podzieleniu przez (		)k−3 sprowadza się do
	2		2

	3		9
		+1 >		⇔ 1 > 0 cnd.
	2		4

6) Z jednej strony licząc ilość podzbiorów zbioru n elementowego możemy postępować tak, że rozpatrujemy pierwszy element a₁ i możemy go wziąć do naszego podzbioru albo nie, czyli możemy to zrobić na 2 sposoby, podobnie drugi element możemy wziąć albo nie, czyli mamy 2 możliwości itd.. więc wszystkich możliwości jest 2*2*..*2 = 2ⁿ. Z drugiej strony możemy posumować ile jest podzbiorów 0−elementowych, 1−elementowych, ... , n−elementowych, dostając

	n 0		n 1		n n
oczywiście		+		+...+		.

7) Indukcyjnie, dla n=1 równość zachodzi, zakładamy, że równość zachodzi dla pewnego n, wówczas:

	1		1		1		1		1		1
1−		+		−...+		−		+		−		=
	2		3		2n−1		2n		2n+1		2n+2

	1		1		1		1		1
		+		+..+		+		−		=
	n+1		n+2		2n		2n+1		2n+2

	1		1		1		1		1
		+		+...+		+		+		cnd.
	n+2		n+3		2n		2n+1		2n+2

	1		1
8) nn+1 > (n+1)n /:nn ⇔ n > (1+		)n, ale jak wiadomo ciąg an = (1+		)n jest
	n		n

rosnący i zbieżny do e < 3 ≤ n cnd.

Basia: zadanie 1

	ex−e−x
thx =
	ex+e−x

t = e^x

	t − 1t		t2−1   t		t2−1
y = th(t) =		=		=		=
	t+1t		t2+1   t		t2+1

t2+1−2		2
	= 1 −
t2+1		t2+1

2
	= 1−y
t2+1

2
	= t2+1
1−y

	2
t2 =		− 1
	1−y

	2−1+y		1+y
t2 =		=
	1−y		1−y

t = √(1+y)/(1−y) y∊(−1;1) e^x = √(1+y)/(1−y) / ln() x = ln[ √(1+y)/(1−y)] = ln√1+y − ln√1−y

	√1+x
th−1(x) = ln		= ln√1+x − ln√1−x x∊(−1;1)
	√1−x

PuRXUTM: dzięki wielkie teraz uciekam na WF wieczorem będę to będę ogarniał to