Nierówność kwadratowa z parametrem Kiełbasa Smaug: Mam problem z 267 zad. cz. I Kiełbasy. Treść: Wyznacz te wartości parametru p, dla których nierówność (p−2)x² + (p−2)x + p−1<0 nie ma rozwiązań. Widziałem rozwiązanie tego zadania na forum, ale nie było tam wytłumaczone dlaczego warunkiem jest także Δ=0 a nie tylko Δ<0. Byłbym wdzięczny za wyjaśnienie tego.

Smaug: Link do rozwiązania tego zadania z forum: https://matematykaszkolna.pl/forum/62766.html

PW: Pomyśl po swojemu, za dużo tam wątpliwości. Po pierwsze trzeba rozstrzygnąć, czy mamy do czynienia z nierównością kwadratową, czy inną. Dla p=2 jest to nierówność 0x²+0x+2−1<0 która jest fałszywa dla każdej liczby rzeczywistej. To bardzo ważne, często o tej możliwości zapomina się. Musimy zapamiętać (dla udzielenia odpowiedzi), że dla p=2 badana nierówność nie ma rozwiązań. Weźmy teraz p<2. W tym miejscu warto narysować wykres funkcji kwadratowej o współczynniku a przy x² ujemnym. Widać, że niezależnie od tego jaka jest ujemna a − rozwiązania nierówności ax²+bx+c<0 istnieją. Musimy zapamiętać (dla udzielenia odpowiedzi), że nie ma takich p<2, dla których nierówność nie ma rozwiązań. Weźmy na koniec p>2. Rysujemy wykres funkcji kwadratowej ax²+bx+c ze współczynnikiem a>0. Najlepiej ze trzy takie wykresy − jeden z wierzchołkiem nad osią OX,, drugi z wierzchołkiem na osi i trzeci z wierzchołkiem pod osią OX. Nierówność ax²+bx+c<0 ma rozwiązania tylko w trzecim wypadku. Oznacza to, że nierówność nie ma rozwiązań, gdy p>2 i Δ≤0. Miałeś wątpliwość, dlaczego powinno być także Δ=0. A dlatego, że dla Δ=0 istnieje x₀, taki że ax²+bx+c=0, a nie <0 − nierówność ax²+bx+c < 0 nie ma rozwiązań.