rzut Alina: wyznacz rzut prostokątny punktu P(3,1) na prostą l:x=2y−15=0

Janek191: P = ( 3; 1) l : x = 2y − 15 ⇒ 2y = x + 15 ⇒ y = 0,5 x + 7,5 Szukam prostej prostopadłej do danej prostej przechodzącej przez punkt P. a*a₁ = − 1 − warunek prostopadłości prostych y = a x + b i y = a₁ x + b₁ zatem 0,5 a₁ = − 1 ⇒ a₁ = − 2 czyli y = − 2 x + b₁ − równanie dowolnej prostej prostopadłej do danej prostej Aby przechodziła przez punkt P musi zachodzić 1 = − 2*3 + b₁ b₁ = 1 + 6 = 7 y = −2 x + 7 −−−−−−−−−−−−−−−−− Rzutem prostokątnym punktu P na prostą l jest punkt wspólny prostych o równaniach y = 0,5 x + 7,5 y = − 2x + 7 −−−−−−−−−−−− 0,5 x + 7,5 = −2x + 7 / *2 x + 15 = − 4x + 14 x + 4x = 14 − 15 = − 1 4x = − 1

	1
x = −
	5

więc

	1		2		2
y = −2*( −		) + 7 =		+ 7 = 7
	5		5		5

	1		2
Odp. P1 = { −		; 7		)
	5		5

=============================

sara: A jednak się "palił"

sara: https://matematykaszkolna.pl/forum/215027.html

PW: Niech punkt Q na prostej ma współrzędne x i y=0,5x+7,5 |PQ|² = (x − 3)²+(0,5x + 7,5 − 1)² = x²−6x+9 +0,25x²+6,5x+6,5² = 1,25x²+0,5x+51,25 Jest to funkcja kwadratowa, która osiąga minimum dla

	−0,5		1
x0 =		= −		.
	2•1,25		5

Kwadrat odległości od P do punktu Q na prostej jest najmniejszy, gdy P=(x₀,y₀). Obliczamy y₀:

	1
y0 = 0,5x0+7,5 = 0,5•(−		)+7,5 = 7,4.
	5

	1
Punkt P0=(−		, 7,4}) należy do prostej i jego kwadrat odległości od P jest najmniejszy, a
	5

więc i jego odległość od P jest najmniejsza. Jak wiadomo własność taką ma rzut P na prostą.

	1
Odpowiedź. Rzutem P na prostą yx−2y+15=0 jest P0=((−		, 7,4}).
	5

Jest to wersja jakby mniej kłopotliwa rachunkowo, ale co kto woli.

PW: saro, przepraszam, widzę że i ja zachowuję się niestosownie, więcej nie będę. Pozdrowienia dla Janka191

sara: No cóż......faceci już tak mają