Wielomiany Saizou : posiada ktoś ciekawe i interesujące zadania z wielomianów ? tak w ramach powtórek

Trivial: Ja mam, ale jest mało interesujące. Wykonaj dzielenie:

x8 + 2x6 + x5 + 2x4 + x3 + x2 + x + 1
x3 + x + 1

Basia: Nie jest trudne, ale nietypowe Dzieląc wielomian W(x) przez x−2009 otrzymaliśmy Q(x) = x⁵−1010x⁴+2000 i resztę R(x) = 2000 Wyznacz resztę z dzielenia W(x) przez x−2010.

Basia: poprawka: Q(x) = x⁵ − 2010x⁴+2000

Trivial: 4000?

Saizou :

x8+x6+x5+x6+x4+x3+x4+x2+x+1
	=
x3+x+1

x5(x3+x+1)+x3(x3+x+1)+x(x3+x+1)+1
	=
x3+x+1

	1
x5+x3+x+
	x3+x+1

no i jeszcze dziedzina x³+x+1≠0 no cóż nie ma pierwiastków wymiernych

Trivial: Gratulacje.

Saizou : W(x)=(x−2009)(x⁵−1010x⁴+200)+2000 W(2010)=(2010−2009)(2010⁵−1010*20010⁴+2000)+2000= =1(2010⁵−2010⁵+2000)+2000=4000

Saizou : coś mi się zera pokićkały i przepisałem z błędem, ale wynik jest poprawny

Basia: @Trivial oczywiście

Basia:

Saizou : żeby nie było to poprawę W(x)=(x−2009)(x⁵−2010x⁴+2000)+2000 W(2010)=(2010−2009)(2010⁵−2010*2010⁴+2000)+2000=1*(2010⁵−2010⁵+2000)+2000=4000

Basia: Równanie z niewiadomą x x³ + bx² + bx + 1 = 0 Wyznacz wartość parametru b, dla którego równanie ma dwa rozwiązania. Wyznacz te rozwiązania.

Trivial: Saizou, no to teraz coś bardziej pracochłonnego: Wykonać dzielenie:

x8+2x7 + 3x6 − 2x3 + 2x + 1
x2+1

ICSP: Basiu dwa różne rozwiązania ?

Saizou : W(x)=x³+1+bx²+bx=0 (x+1)(x²−x+1)+bx(x+1)=0 (x+1)(x²+(b−1)x+1)=0 x²+(b−1)x+1=0 x+1=0 Δ=b²−2b+1−4=0 x=−1 b²−2b−3=0 (b−3)(b+1)=0 b=3 b=−1 −dla b=3 W(x)=(x+1)(x²+2x+1)=(x+1)³ co nie spełnia warunków zadania −dla b=−1 W(x)=(x+1)(x²−2x+1)=(x+1)(x−1)²=0 x=1 x=−1

Saizou : właśnie taką opcję rozpatrzyłem ICSP

Basia: różne; różne

Basia: ale czy Ty Saizou nie przerabiałeś już tego zbioru zadań (Kiełbasa) ?

Saizou : nie, nie posiadam go w domu i nawet tak jakoś mnie do niego nie ciągnęło

Basia: to tym bardziej

Saizou : ale nie ma co spoczywać na laurach tylko liczyć i liczyć i liczyć......∞ i jeszcze raz liczyć

ICSP: To może ja dam zadanie : Wyznacz wszystkie wielomiany spełniające równość : (x−1) * f(x+1) = (x+3) * f(x−1) o takie o zadanie

Basia: tylko zerowy ? to tak na oko

ICSP: nie

Mila: Wykaż, że wielomian w(x)=x³−(p+1)x²+(p−3)x+3 ma dla p∊R trzy pierwiastki, niekoniecznie równe.

Saizou : Mila tam na pewno jest p−3 albo +3

Saizou : a nie dobrze jest

Saizou : W(x)=x³−px²−x²−px−3x+3= x³−x²−px²+px−3x+3= x²(x−1)−px(x−1)−3(x−1)=0 (x−1)(x²−px−3)=0 Δ≥0 p²+12≥0 spełnione dla każdego p∊R, zatem W(x) ma 3 pierwiastki dla każdego p∊R

Saizou : ICSP jakaś podpowiedź, bo nie mam pojęcia jak to zacząć

ICSP: Jutro

Mila: Saizou,, dobrze i jeszcze jedno: czy mogą być wśród tych pierwiastków dwa równe pierwiastki? Jeśli tak to jakie?

Saizou : P(x)=x²−px−3 2 równe pierwiastki mogą być dla P(1)=1−p−3=0 −p−2=0⇒p=−2 czyli ten pierwiastek to x=1 Δ=0 p²+12=0 sprzeczność wiec pozostaje tylko dla p=−2, x=1

Basia: Δ = p²+12 > 0 dla każdego p więc równanie x²−px−3 ma zawsze dwa różne pierwiastki czyli jeden z nich musiałby się równać 1 1−p*1−3 = 0 p = −2 mamy wtedy x²+2x−3 = 0 Δ = 16 x₁ = −3 x₂ = 1 wiem, że o to samo Ci chodziło; napisałam to tylko nieco bardziej dokładnie

Mila: w(x)=(x−1)*p(x) p(x)=x²−px−3 Δ=p²+12 >0, zatem p(x) ma dwa różne pierwiastki, czy jednym z nich może być 1. p(1)=0⇔p=−2 Z ciekawości liczę jaki jest drugi pierwiastek. x²+2x−3=0 x=1 lub x=−3 dla p=−2 w(x) ma pierwiastki :1,1,−3

Saizou : tak jakoś się leniwy zrobiłem xd

Mila: Może skończ − zadanie − jest ciekawe. https://matematykaszkolna.pl/forum/212572.html

Trivial: Saizou, zajmij się zadaniem ICSP − jest ciekawe.

Saizou : Trivial gdybym miał chociaż pomysł to bym coś kombinował

Trivial: Oto podpowiedź: (x−1)f(x+1) = (x+3)f(x−1) Równanie to jest spełnione dla każdego x, a f jest wielomianem. Może warto poszukać kilku pierwiastków f?

asdf: Dane są nieujemne liczby całkowite k₁ < k₂ < ... < k_m. Niech: n = 2^k₁ + 2^k₂ + ... + 2^k_m Wyznacz liczbę nieparzystych współczynników wielomianu P(x) = (x+1)ⁿ.

asdf: i jeszcze to: Różne wielomiany P i Q o współczynnikach rzeczywistych spełniają warunek: P(Q(x)) = Q(P(x)) dla każdego x. Wykaż, że dla dowolnej liczby naturalnej n wielomian P(P(...P(x))...)) − Q(Q(...Q(Q(x))...)) jest podzielny przez wielomian P(x) − Q(x). na zielono − n razy