Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o przeciwprostokątnej równej 2. olusiaaa: Dany jest trójkąt prostokątny równoramienny ABC o przeciwprostokątnej równej 2. Niech punkt P będzie takim punktem tego trójkąta, że suma jego odległości od wierzchołków trójkąta jest najmniejsza. Wykaż, że suma ta jest równa 1+√3

Vax: Poczytaj o punkcie Torricellego.

Mila: Przeczytaj o punkcie Torricellego. (jak radzi kolega Vax) Rozwiąż np. tak. P_ΔABC=1 1) porównaj sumę pól małych Δ z polem ΔABC⇒obliczysz sumę (xy+xz+yz) 2) W każdym "małym" Δ zastosuj twierdzenie cosinusów⇒otrzymasz układ równań. 3)Rozwiąż układ równań.

Mila: Z układu oblicz:(x+y+z) nie obliczając każdego składnika.

sqbi: x, y, z − odcinki od wierzchołka do punktu Fermata (jak na ilustracji Mili) W trójkącie prostokątnym ΔACB (gdzie przeciwprostokątna to odcinek |AB|, jak na ilustracji Mili) punkt F (Fermata) dzieli ΔACB na ΔCFA, ΔBFC i ΔAFB. ΔAFB jest trójkątem równoramiennym, o ramieniach z oraz y (patrz ilustracja Mili), dzięki czemu z = y Wysokość h trójkąta ΔAFB przecina trójkąt na dwa trójkąty prostokątne o kątach 60°, 90° oraz 180°−60°−90°, z czego wynika że mamy doczynienia z trójkątem 60° 90° 30°. https://www.matemaks.pl/trojkat-prostokatny-30-60-90.html h_ΔAFB = 1 / √3 z = 2h = 2 / √3 y = 2 / √3 x+h_ΔAFB = h_ΔACB h_ΔACB = 1 x = 1 − 1 / √3 x+y+z = 1−1 / √3+ 2 /√3+2 / √3 x+y+z = 1+4 / √3−1 / √3 x+y+z = 1+3 / √3 3 / √3 = 3√3 / (√3*√3) = 3√3 / 3 = √3 x+y+z = 1+√3

Mila: Dobrze . Popraw zapisy; Ułamki piszemy za pomocą dużej litery U U{licznik} {mianownik} bez tej spacji między klamrami.

sqbi: z = y

	1
hΔAFB =
	√3

	2
z = 2h =
	√3

	2
y =
	√3

x+h_ΔAFB = h_ΔACB x=h_ΔACB−h_ΔAFB h_ΔACB = 1

	1
x = 1 −
	√3

	1		2		2
x+y+z = 1 −		+		+
	√3		√3		√3

	4		1
x+y+z = 1 +		−
	√3		√3

	3
x+y+z = 1 +
	√3

3		3*√3		3√3
	=		=		= √3
√3		√3*√3		3

x+y+z = 1+√3

julek:

Mila: