Potęgi xantor: Wykaż że ³√6+√847/27 + ³√6 −√847/27 = 3. Proszę nie podnosić tego do potęgi tylko za pomocą wzoru skróconego mnożenia.

Piotr 10:

	1
Możesz tutaj wykorzystać fakt, że 3√6+√847/27=
	3√6−√847/27

Piotr 10: A podnieść to do potęgi, to jest to samo co wykorzystać wzory skróconego mnożenia. Przecież Jeżeli podniesiemy obustronnie (..)³ to otrzymamy (a+b)³=3³

ZKS: Piotr 10 a sprawdziłeś czy to prawda?

	1
[6 + (847/27)1/2]1/3 =
	[6 − (847/27)1/2]1/3

PW: https://matematykaszkolna.pl/forum/211134.html Piotr 10 wciąga Cię w takie rozumowanie − jeżeli zrozumiesz, zrobisz i to. Śmiało można powiedzieć, że stwierdzenie iż jedna z tych liczb jest odwrotnością drugiej jest właśnie wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia (taką operacją odwrotną do usuwania niewymierności z mianownika).

Piotr 10: Hmm, nie sprawdzałem, ale to chyba prawda jest?

PW: Tyle że jest ten mały kłopot, o którym pisze ZKS − nie jest to dokładnie odwrotność, trzeba to sprawdzić. Może się to okazać dalej za trudne dla pytającego − niech się wypowie.

Piotr 10: Usunąć niewymierność trzeba , ale niech pytający trochę się ruszy

xantor: nie ogarniam ja robiłem innym sposobem te trzy ostatnie przykłady i ładnie wychodziło gdyż podstawiałem drugą liczbę w pierwiastku do równania b³ + 3a²b

Piotr 10: Ja robiłem, ten sam przykład nie tak dawno i zrobiłem tak, że lewa strona równa jest ''x'' i podniosłem do potęgi trzeciej, i też wszystko wyszło mi , a więc do roboty się zabieraj

Bogdan:

	11
Może to pomoże: √847/27 =		√7/3
	3

pb: jak dla mnie cos zle przepisales, bo chodzi ci zeby to pod pierwiastkiem zapisac jako szescian jakiejs liczby, to by bylo ³√(m+n)³ + ³√(m−n)³ = 3 i m v n ma w liczniku √3 v √7 i moga miec w mianownikach √3 i √7, ale wtedy na pewno jedna z liczb jest rowna x√21

xantor: dobra ok może jakoś to zrobię dzięki za pomoc

ZKS: Nic źle nie przepisał według mnie wszystko jest dobrze.

Piotr 10: Tak, jest dobrze. Jest to zadanie z Pazdro

ZKS: Trzeba chwilę pomyśleć i tyle.

PW: Dla uproszczenia zapisów oznaczmy liczbę pod pierwiastkiem jako 6+a

	(6−a)(6+a)
6−a=		=U{36−a2){6−a}.
	6+a

Z uwagi na to, że

	847		125		5
36−a2 = 36 −		=		= (		)3
	27		27		3

widać (?) że zadana równość ma postać

	5
x−		=3,
	3x

szukamy więc liczby dodatniej x, dla której 3x²−9x−5=0. Rozwiązać nie sztuka, sztuka pokazać, że jest to właśnie ³√6+√847/27, tylko inaczej zapisana.

ZKS: Zaproponuję również taki sposób. Oznaczmy jako

	847
t1 = [6 + (		)1/2]1/3
	27

oraz

	847
t2 = [6 − (		)1/2]1/3
	27

wtedy

	2		5
t1 * t2 −		= 1 ⇒ t1t2 =
	3		3

t₁ + t₂ = 3 widzimy że są to wzory Viete'a dla funkcji kwadratowej więc nasza równanie wygląda teraz tak

	5
t2 − 3t +		= 0
	3

	20
Δ = 9 −
	3

	7
√Δ = (		)12
	3

	7   3 ± ( )12   3
t1 ; 2 =		.
	2

Otrzymaliśmy że

	847		7   3 + ( )12   3
[6 + (		)1/2]1/3 =
	27		2

oraz

	847		7   3 − ( )12   3
[6 − (		)1/2]1/3 =
	27		2

PW: W drugim wierszu powinno być

	36−a2
6−a=...=
	6+a

PW: ZKS dochodzimy do tej samej funkcji kwadratowej, ale masz dużo lepszy pomysł − po co szukać pierwszej liczby i pokazywać, że jest równa ³√6+a, kiedy z wzorów Viéte'a od razu widać. Świetne.

ZKS:

Eta: Inny sposób (a+b)³= a³+b³+3ab(a+b) ³√6+√847/27+³√6−√847/27= x / ³ 6+√6+√847/27 +3³√(6+√847/27)*(6−√847/27)*x= x³

	125
12+3*3√		*x=x3
	27

	5
12+3*		*x=x3
	3

x³−5x−12=0 w(3)= 27 −15−12=0 ⇒ x=3 (x−3)(x²+3x+4)=0 Δ<0 jedynym pierwiastkiem rzeczywistym tego równania jest x=3 to L=P

PW: Jasne, ale my tu takie wygibasy, bo pytający zastrzegł: proszę nie podnosić tego do potęgi. Teraz pewnie żałuje.

ZKS: Może autor chciał wiedzieć jak inaczej może zapisać

	847
[6 + (		)1/2]1/3 oraz
	27

	847
[6 − (		)1/2]1/3.
	27

Eta: