Czy poniższa równość jest tożsamością trygonometryczną? Kun: Mam problem z pewnym zadankiem : Czy poniższa równość jest tożsamością trygonometryczną? a) tgα + ctgα=²_sin²α b) (sinα + cosα)² = sin2α c) cos⁴α − sin⁴α = cos2α Wiem ,że muszę zacząć od założeń ,ale jak je zapisać ? nie mam pojęcia. Wiem ,że mam zacząć np. : sin²α≠0 a co dalej to nie wiem proszę o jak wytłumaczenie jak najprostszym językiem

5-latek:

	sinx		cosx
a)		+		= do wspolnego mianownika i licz
	cosx		sinx

Poza tym masz tu jedynke trygonometryczna bo tgx+ctgx=1

PW: Założenia (dziedzina) jak dla każdego wyrażenia. W tych zadaniach przeważnie idzie o to, by mianownik nie był zerem. Jak najprościej? Najpierw zawsze podstawić jakiś "ładny" kąt i zobaczyć, czy przypadkiem nie otrzymamy po obu stronach różnych liczb. Co za ulga, nic nie musimy dowodzić, nie jest to tożsamość. Jeżeli się nie udaje w ten sposób, to trzeba przekształcać jedną stronę (praktycznie tę zapisaną bardziej skomplikowanym wyrażeniem) dotąd, aż uzyskamy to co po drugiej stronie. Na przykład b) − bo nie trzeba żadnych założeń, tzn.dziedziną jest R. Sprawdzenie dla α=π L=(lewa strona domniemanej tożsamości)=(sinα+cosα)²=(sinπ+cosπ)²=(0−1)²=1 P=sin2π=0 L≠P Nie jest to tożsamość.

Kun: (sinα+cosα)2=(sinπ+cosπ)2 mogę wiedzieć skąd się to wzięło ?

Basia: to "=" nie jest tak do końca uprawnione lewa strona dla α=180^o (czyli π w radianach) ma wartość L(180^o) = (sin180+cos180)² = (0−1)² = 1 P(180^o) = sin360 = 0

PW: Mówię: sprawdzić dla jakiegoś kąta, dla którego znasz wartości funkcji trygonometrycznych, np. 30°, 90°, 180°.Akurat wziąłem 180°, bo jestem leniwy i nie chciało mi się liczyć ułamków. Na ogół, jeśli coś nie jest tożsamością, udaje się od razu pokazać, że lewa strona nie jest równa prawej. Sprawdź sam dla α=30°.

Eta: b) P=sin2α L= sin²α+2sinα*cosα+cos²α= 1+2sinα*cosα= 1+sin2α ≠ P zatem : nie jest tożsamością

Eta: c) L=(cos²α+sin²α)(cos²α−sin²α)= 1*cos2α= cos2α= P zatem : jest tożsamością

Eta: @"małolatka" tgα*ctgα= 1 , a tgα+ctgα≠1

Kun: (sinα + cosα)2 = sin2α L(30°)=(sin30° + cos 30°)² = ¹₂+^√3₂ P(30°)=(sin2 30°) = 2*¹₂= 1 coś takiego ?

PW: Tak, tyle że nie podniosłeś do kwadratu, a sin(2•30°)=sin60°=...

Kun: @Eta z jakiej własności to się wzięło : 1+2sinα*cosα= 1+sin2α ?

Eta: 2sinα*cosα= sin2α

Eta: https://matematykaszkolna.pl/strona/1543.html

Kun: @PW: L(30°)=(sin30° + cos 30°)² = (¹₂+^√3₂)² = ¹₄+³₄+^√3₄= 1+{√3{4}} P(30°)=(sin2 30°) = 2*12= 1 P≠L tak ?

Kun: @Eta Okej dzięki Dobra to mam teraz kilka najważniejszych pytań: 1) Czy w tego typu zadaniach najprościej jest podstawić pod α wartość np. 30 lub 60 lub 90 stopni i wyliczyć sobie czy L=P ? czy zawsze tak można ? 2) Jeżeli mi wyjdzie ,że L=P to jak liczyć tą dziedzinę ?

5-latek: Dobry wieczor Eta jak zwykle musze cos nie tak napisac. jasne ze tgx*ctgx=1. To przez roztargnienie . Myslami jestem przy przerobkach w domu (musze zdazyc przed pazdziernikiem ) dziekuje za sprostowanie i pozdrawiam

Kun: @5−latek nie ma problemu

Eta:

PW:

	√3
Nie! sin(2•30°)=sin60°=		(przecie taką tabelkę powinieneś umieć na pamięć).
	2

Funkcja sinus nie jest liniowa, nieprawda że sin2α=2sinα, Eta przed chwilą napisała wzór. W tym prostym rachunku nie trzeba tego wzoru stosować, tylko zauważyć, że 2•30=60.

Kun: @PW znam tabelkę na pamieć ,ale skąd wzięło się to sin(2*30°) ? kurde troszkę już późno i nie ciężko wiedza wchodzi

PW: sin(2•30°) to było sprawdzenie prawej strony rzekomej tożsamości dla α=30°. W takiej sytuacji lepiej odpocząć, rano lepiej się myśli.

Kun: Aaaa rozumiem ja zmieniałem lewą stronę a Tb chodziło o prawą w takim razie ostatnia szansa jak będzie źle to idę spać L(30°)=(sin30° + cos 30°)2 = (12+√32)2 = 14+34+√34= 1+^√3₄ P(30°)=(sin2*30°) = sin60° = ^√3₂

PW: Podnoszenie do kwadratu (zgubiłeś dwójkę − masz iloczyn zamiast podwojonego iloczynu). Ułamków muszę się domyślać, popatrz po lewej stronie jak je tworzyć.

Kun: L(30°)=(sin30° + cos 30°)² = (¹₂ + ^√3₂)² = ¹₄ + ³₄ + 1*³₄= 1+³₄ to jest źle ?

PW:

	1		√3		1		1	√3		√3
(		+		)2 = (		)2 +2•			+ (		)2 =
	2		2		2		2	2		2

	1		√3		3		√3
		+		+		=1+
	4		2		4		2

Widzisz, dlaczego byłem leniwy − lepiej było wziąć α=180°.

Kun: @PW sorki popełniłem błąd przez to ,że piszę tutaj tymi skrótami ,w zeszycie dobrze zapisałem mam jeszcze parę pytań do Cb jeżeli możesz pomóc, było by super : 1 − czy zawsze mogę używać " Twojego sposobu" z podstawieniem jakiego kolwiek kąta i zamiane to na ułamka ? 2 − czy mogę na początku zobaczyć czy tożsamość jest prawdziwa i dopiero potem wyznaczać dziedzinę ? czy muszę mieć zawsze założenia i dziedzinę ? 3 − jak wgl liczyć tą dziedzinę i robić te założenia bo w dalszym ciągu mam z tym problem 4 − czy muszę wkuwać na pamięć wszystkie wzory redukcyjne czy można to jakoś szybko wyporwadzać ? Jak odpowiedz to wieeeelki browar leci

5-latek:

	√3		√3
(1/2+		)2=(1/2)2+2*1/2*		+(√3{2})2= .... policz
	2		2

5-latek: A juz wiesz

PW: Jeżeli podstawiasz na początku jakąś liczbę, to można to zrobić przed ustaleniem dziedziny (najwyżej będziesz miał pecha i samo wyjdzie w rachunkach, że ta liczba nie należy do dziedziny). Przy pewnej wprawie robi się to w pamięci (!) i pisze tylko wtedy, gdy stwierdzisz, że nie jest to tożsamość. Jeżeli po jakimś prostym podstawieniu L=P, to nie męczymy następnych podejrzanych, tylko przystępujemy do dowodu (przekształcamy np. L za pomocą znanych wzorów , aby otrzymać P). Ćwiczyć, ćwiczyć, ćwiczyć. Wzory koniecznie na pamięć, bo trzeba kojarzyć − czym można zastąpić jedno wyrażenie, aby otrzymać drugie − to pożądane.

Kun: A co do dziedziny jak ją liczyć i daje spokój ,idę uczyć się wzorów

PW: Tak samo jak we wszystkich wyrażeniach − musi się to dać obliczyć (nie może być zero w mianowniku, ujemna liczba pod pierwiastkiem itp.). Na przykład w a) trzeba zadbać, by tgα i ctgα miały sens (bo nie dla wszystkich α mają). Prawa strona już wtedy będzie miała sens − jak zrobisz, to zobaczysz. W b) i c) piszemy, że dziedziną są wszystkie liczby rzeczywiste, bo sinus i cosinus mają sens dla każdej liczby (nie ma tam działań powodujących, że wyrażenie nie ma sensu). Dobranoc, bo własnemu synowi już bym dał po łbie.