Zadanie z przed 3 lat z konkursu matematycznego dla gimnazjum. nie potrafie go r Tomek: Suma 1+2+2²+2³+2⁴+...+2²⁹+2³⁰ jest równa...

ICSP: https://matematykaszkolna.pl/strona/279.html

Tomek: Nic mi to nie dalo szczerze mowiac

ICSP: NO to w takim razie nie jesteś jeszcze gotó na konkurs Rozwiązanie również Ci nic nie da skoro nie rozumiesz teroii

Tomek: 1. Roziwazalem cala reszte zadan w 50 minut poniewaz znam zasdy dzialania kazdego z nich. 2. To zadanie pojawia sie co roku i jescze nigdy nie udalo mi sie znalezc zeby mi go dobrze wytlumaczyli 3. Do nastepnego etapu przeszedlem jak narazie 2 lata takze tez mi to nie za bardzo przeszkadzalo Chcialbym zebys mi wytlumaczyl na jakiej zasadzie ono dziala a nie podal odpowiedz

wredulus_pospolitus: to może wyjaśnie bez wchodzenia w ciągi geometryczne zauważ, że: 1+2 = 3 = 4 −1 1+2+4 = 4 −1 + 4 = 8 −1 1+2+4+8 = 8 −1 + 8 = 16 −1 .... itd. więc ... 1+2+4+...+2³⁰ = ....

Tomek: I o to chodzilo. Czyli ze odpowiedz koncowa to bedzie 2³1−1 o ile sie nie myle

ZKS: Tak zgodnie z tym co zauważył wredulus pospolitus. 2³⁰ * 2 − 1 = 2³¹ − 1

ICSP: albo oznaczmy naszą sumę przez S_n mamy : S_n = 1 + 2 + ... + 2³⁰ mnożąc to równanie przez 2 dostajemy : 2S_n = 2 + 2² + ... + 2³¹ odejmując stronami : 2S_n − S_n = 2³¹ + 2³⁰ + ... + 2 − (2³⁰ + 2²⁹ + ... + 1) S_n = 2³¹ − 1

ZKS: Poprzez zaburzanie sumy. Prawie identycznie jak ICSP. S_n = ∑ⁿ_{k = 0} 2^k S_n + 2^{n + 1} = 1 + ∑^{n + 1}_{k = 1} 2^k = 1 + ∑ⁿ_{k = 0} 2^{k + 1} = 1 + 2 * ∑ⁿ_{k = 0} 2^k = 1 + 2S_n S_n + 2^{n + 1} = 1 + 2S_n S_n − 2S_n = 1 − 2^{n + 1} −S_n = 1 − 2^{n + 1} S_n = 2^{n + 1} − 1 S₃₀ = 2^{30 + 1} − 1 = 2³¹ − 1