Dowody PusioOkrusio : 1) Udowodnic ze dla dowolnych liczb calkowitych a i b liczba a²*b i ab² jest parzysta 2)) Udowodnij ,ze dal kazdj liczby calkowitej c liczba 2c³ + 3c² + c jest podzielna przez 6 3) Udowodnij , ze jezeli n jest liczba naturalna, to liczba n⁵ − n jest podzielna przez 30 4) Udowodnij ,ze dla kazdej liczby naturalnej n liczba n³ + 11n jest podzielna przez 6 5)Udowodni ,ze liczba postaci n⁴ − 4n³ − 4n + 16n gdzie n oznacza liczbe parzytsa wieksza od 4 jest podzielna przez 384 6) Udowodnij ,ze jezeli n jest liczba naturlana to 16n³ − 4n jest liczba calkowita podzielną przez 12. 7) Udowodnij ,ze dla kazdej liczby nieparzystej n liczba n³ + 3n² − n− 3 jest wilokrotnoscia 48 8) Przy dzieleniu przez 5 liczba a, b, c otrzymujemy odpowiednio reszty 1,2,3. Znajdz reszte z dzielenia sumy kwadratow liczb a, b, c przez 5

ICSP: ale w pierwszym jest błąd nie działa np dla a = 1 oraz b = 3

Piotr 10: Znowu dowody?https://matematykaszkolna.pl/forum/209001.html ?Może spróbuj samemu zrobić jakiś przykład

Piotr 10: Np. Zadanie 2 Założenie: c∊C Dowód: 2c³+3c²+c=c(2c²+3c+1)=c[(c+1)²+c²+c]=c[(c+1)²+c(c+1)]= =c[(c+1)(2c+1)]=c(c+1)[(c+2)+(c−1)]=c(c+1)(c+2)+(c−1)c(c+1) c(c+1)(c+2)⇒ To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których na pewno jedna dzieli się przez 2, a druga z tych dzieli się przez 2. A więc 2*3=6 (c−1)c(c+1)⇒ To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których na pewno jedna dzieli się przez 2, a druga z tych dzieli się przez 2. A więc 2*3=6 A więc liczba 2c³+3c²+c dzieli się przez 6 c.n.u

ICSP: widać że kopiowane

PusioOkrusio : no wiem ,ze wtedy bylo tylko ,ze to bd hm możne z 300 zadanie z wakacji xd

Piotr 10: Zadanie 4 4) Udowodnij ,ze dla kazdej liczby naturalnej n liczba n³ + 11n jest podzielna przez 6 Założenie: n∊N Dowód: n³+11n=n(n²+11)=n(n²−1+12)=n[(n²−1)+12]=n[(n−1)(n+1+12]=(n−1)n(n+1)+12n (n−1)n(n+1)⇒ To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których na pewno jedna dzieli się przez 2, a druga z tych dzieli się przez 2. A więc 2*3=6 12n=6*2n ⇒ Liczba ta jest wielokrotnością liczby 6 , a więc liczba ta jest na pewno podzielna przez 6 c.n.u

ICSP: znowu widać że kopiowane

Piotr 10: Hmm?

ICSP: jedna dzieli się przez 2, druga dzieli się przez dwa więc ich iloczyn dzieli się przez 2*3 = 6 ?

Piotr 10: Pomyliłem się skopiowałem to z mojego wcześniejszego postu, bo nie chciało mi się pisać tego samego a w poście godz 13:57 ten sam błąd.. I nie kopiowałem nic....

Eta: Piotr nie przejmuj się ......... ICSP ostatnio jest .........

Piotr 10: Dzięki Eta

Piotr 10: Nudzi mi się to CI zrobię 7 jeszcze 7) Udowodnij ,ze dla kazdej liczby nieparzystej n liczba n³ + 3n² − n− 3 jest wielokrotnością 48 Założenie: n ∊ liczb nieparzystych n=2k+1, gdzie k∊C Dowód: n³ + 3n² − n− 3=n(n²−1)+3(n²−1)=(n²−1)(n+3)=(n−1)(n+1)(n+3) Wstawiam teraz za n=2k+1 (n−1)(n+1)(n+3)=2k(2k+2)(2k+4)=2k*2(k+1)*2(k+2)=8k(k+1)(k+2) k(k+1)(k+2) ⇒To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których na pewno jedna dzieli się przez 2, a druga z tych dzieli się przez 3. A więc 2*3=6. 8*6=48 c.n.u

ICSP: Przepraszam Od dziś jeśli zobaczę czyjś błąd będę milczał

Piotr 10: ICSP nie o to chodziło, bo z tego co pisałeś odczuwałem, że mi ''zarzucasz'' kopiowanie rozwiązań, a ja je sam rozwiązuję

Piotr 10: 3) Udowodnij , ze jeżeli n jest liczba naturalna, to liczba n⁵ − n jest podzielna przez 30. Założenie: n∊N Dowód: n⁵−n=n(n⁴−1)=n[(n²−1)(n²+1)]=n[(n−1)(n+1)(n²−4+5)]= =n(n−1)(n+1)[(n−2)(n+2)+5]=(n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)+5(n−1)n(n+1) (n−2)(n−1)n(n+1)(n+2)⇒To iloczyn pięciu kolejnych liczb całkowitych, z których przynajmniej na pewno jedna dzieli się przez 2, druga z tych liczb dzieli się przez 3, a trzecia dzieli się przez 5. A więc 2*3*5=30 5(n−1)n(n+1)⇒ To iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych, z których na pewno jedna dzieli się przez 2, a druga z tych dzieli się przez 3. A więc 2*3=6. 5*6=30 c.n.u

Piotr 10: 8) Przy dzieleniu przez 5 liczba a, b, c otrzymujemy odpowiednio reszty 1,2,3. Znajdz reszte z dzielenia sumy kwadratow liczb a, b, c przez 5 a=5k+1 b=5p+2 c=5z+3 a²+b²+c²=(5k+1)²+(5p+2)²+(5z+3)²=25k²+10k+1+25p²+20p+4+25z²+30z+9= =25k²+10k+25p²+20p+25z²+30z+14=25k²+10k+25p²+20p+25z²+30z+10+4= =5(5k²+5k+5p²+4p+5z²+6z+2)+4 A więc reszta z dzielenia wynosi 4

Piotr 10: W 5 zadaniu popraw zapis, bo mi się zdaje, że powinien tam być gdzieś kwadrat. I w pierwszym zadaniu też popraw zapis

Piotr 10: 5)Udowodni ,ze liczba postaci n⁴ − 4n³ − 4n² + 16n gdzie n oznacza liczbę parzysta większą od 4 jest podzielna przez 384 Założenie: n=2k ⋀ k∊C ⋀k∊(2:+∞), bo n>4 Dowód: n²(n²−4)−4n(n²−4)=(n²−4)(n²−4n)=(n−2)(n+2)n(n−4) Liczba parzysta jest w postaci n=2k (n−2)(n+2)n(n−4)=(2k−2)(2k+2)2k(2k−4)= =2(k−1)*2(k+1)2*k*2(k−2)=16(k−2)(k−1)k(k+1) (k−2)(k−1)k(k+1) ⇒ To iloczyn czterech kolejnych liczb całkowitych, z których na pewno jedna dzieli się przez 2, druga dzieli się przez 3 , a trzecia dzieli się przez 4. A więc 2*3*4=24 24*16=384 c.n.u

zm: zad.6 L=16n³−4n = 4n(4n²−1)= 4n[3n²+(n²−1)]= 12n³ +4n*(n−1)(n+1) teraz tylko napisać odpowiedni komentarz i ...... c.n.d