Dowody :) PusioOkrusio : 1Wykaz ,ze roznica czwartych poteg dwoch liczb calkowitych rozniacych sie o 2 jest podzielna przez 8. 2 Udowodnij ,ze suma liczby dwucyfrowej i liczby utworzonej z tych samych cyfr zapisanych w odwrotnej kolejności jest podzielna przez 11. 3 Udowodnij ,ze roznica kwadratów liczb niedzielacych sie przez 3 jest podzielna przez 3 4 Suma dwoch liczb naturalnych dodatnich wynosi 168,a ich najwiekszy wspolny dzielnik rowna sie 24. Znajdz te liczby 5 Znajdz dwie liczby naturalne ktorych suma wynosi 750, zas iloraz z dzielenia ich najmniejszej wspolnej wielokrotnej przez ich najwiekszy wspolny dzielnik jest rowny 1196 6 Wykaz ze iloczyn czterech kolejnych liczb calkowitych powiekszony o 1 jest kwadratem liczby calkowitej.

Janek191: z.1 n − dowolna liczba całkowita ( n + 2)⁴ − n⁴ = [ ( n +2)²]² − ( n²)² = = [ ( n + 2)² + n²]*[ ( n + 2)² − n² ] = = ( n² + 4n + 4 + n²)*( n² + 4n + 4 − n²) = = ( 2 n² + 4n + 4)*(4n + 4) = 2*( n² + 2n + 2)*4*( n + 1) = = 8*( n² + 2n + 2)*( n + 1) − liczba podzielna przez 8

Piotr 10: Np. Zad.2 Liczby niedzielące się przez 3 są postaci a=3k+1 b=3k+2 a⁻b²=(3k+1)² − (3k+2)²=9k²+6k+1−9k²−12k−4=−6k−3=3(−2k−1) Liczba 3(−2k−1) jest wielokrotnością liczby 3 , a więc na pewno dzieli się przez 3 c.n.u

Janek191: z.2 10a + b − dowolna liczba dwucyfrowa a ∊ { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 } , b ∊ { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } 10b + a − liczba dwucyfrowa zapisana tymi samymi cyframi w odwrotnej kolejności Mamy 10a + b + 10b + a = 11a + 11b = 11*( a + b) − liczba naturalna podzielna przez 11

PusioOkrusio : Piotr zad chyba 3 ?

Piotr 10: Zad.4 Założenie: x∊N₊ ⋀ y∊N₊ ⋀ k ⋀ p ∊ N₊ x+y=168 x=24k y=24p 24k+24p=168 k+p=7 Teraz badamy: I przypadek, gdy k=1⋀ p=6 x=24 ⋀ y=144 II przypadek, gdy k=2 ⋀ p=5 x=48 ⋀ y=120 III przypadek, gdy k=3 ⋀ p=4 x=72 ⋀ y=96

Piotr 10: Tak z rozpędu pomyłka

PusioOkrusio : Ok , ok , dzieki

PusioOkrusio : Dzieki za te dwa

Janek191: z.4 a = 24 k b = 24 l a + b = 24 k + 24 l = 168 / : 24 k + l = 7 k = 1 , l = 6 wtedy a = 24, b = 144 k = 2, l = 5 wtedy a = 48, b = 120 k = 3, l = 4 wtedy a = 72, b = 96 k = 4, l = 3 wtedy a = 96, b = 72 k = 5, l = 2 wtedy a = 120, b = 48 k = 6, l = 1 wtedy a = 144, b = 24

Piotr 10: 5 Znajdz dwie liczby naturalne ktorych suma wynosi 750, zas iloraz z dzielenia ich najmniejszej wspolnej wielokrotnej przez ich najwiekszy wspolny dzielnik jest rowny 1196 Założenie x⋀ y∊N Dowód: x+y=750

NWW(x;y)
	=1196
NWD(x'y)

NWW(x;y)*NWD(x'y)=x*y <== wzór NWW(x;y)=1196*NWD(x;y) 1196NWD(x;y)*NWD(x;y)=x*y Dalej brak pomysłu, ale Janek191 na pewno zrobi

Piotr 10: NWD(x;y)=a, ⇒x=a*p y=a*c NWW(x;y)=apc ap+ac=750

NWW(x;y
	=1196
NWD(x;y

pc=1196 a(p+c)=750 pc=1196 Rozwiąż ten układ równań

Piotr 10: Wykaz ze iloczyn czterech kolejnych liczb calkowitych powiekszony o 1 jest kwadratem liczby calkowitej. Założenie: k∊C Dowód: k(k+1)(k+2)(k+3)+1=(k²+k)(k+2)(k+3)+1=k⁴+6k³+11k²+6k+1 Tutaj stosuję wzór (a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc U mnie a to k² b to 3k c to 1 A więc k⁴+6k³+11k²+6k+1=(k²+3k+1)² (k²+3k+1)² ⇒To kwadrat liczby całkowitej,gdyż k∊C oraz 1∊C c.n.u

Eta: 2 sposób ostatniego zadania z równości : k(k+3) =(k+1)(k+2)−2 to: L=[(k+1)(k+2)−2]*(k+1)(k+2)+1=(k+1)²*(k+2)²−2*(k+1)(k+2)+1= [(k+1)*(k+2)−1]²= = (k²+3k+1)² −−− kwadrat liczby całkowitej, bo k€C c.n.u.