Ciagi 5-latek: Piotrek10 Nowe z ciagow. Zadanie nr 1. Udowodnic ze suma odwrotnosci wszystkich wyrazow skonczonego ciagu geometrycznego rowna jest sumie jego wszystkich wyrazow podzielonej przez iloczyn pierwszego i ostatniego wyrazu. Zadanie nr 2.Boki trojkata tworza ciag geometryczny . Jaki warunek musi spelniac iloraz q. Zadanie nr 3. Uwazam ze ciekawe. Ciag arytmetyczny sklada sie z trzech dodatnich wyrazow . Takze ciag geometryczny sklada sie z trzech wyrazow dodatnich. .Pierwsze i trzecie wyrazy w obu ciagach sa jednakowe. Zbadaj ktory ciag ma wieksza sume Piotrek mysle ze starczy . Bedziesz mial juz jakis oglad na te ciagi po rozwiazaniu tych zadan

Piotr 10: Postanowiłem, że w tym poście rozwiąże wcześniejsze zadania, które mi podałeś . Te 3 nowe zadania rozwiąże już w inny dzień Zadanie nr 3 Cztery liczby 2,a,b,c, są tak dobrane aby trzy pierwsze z nich tworzyły ciąg arytmetyczny a trzy ostatnie ciąg geometryczny . Suma wyrazów skrajnych jest dwa razy większa od sumy wyrazów środkowych. Znajdź te liczby. Rozwiązanie: Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:

	an−1+an+1
an=		dla n≥2
	2

a₁=2 a₂=a a₃=b

	2+b
a=
	2

1⁰ 2a=2+b Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: a²_n=a_n−1*a_n+1 dla n≥2 2⁰ b²=a*c Wyrazy skrajne to wyrazy znajdujące się na początku i na końcu (''po brzegach'') 3⁰ 2+c=2(a+b) 2+c=2a+2b Za 2a wstawiam 1⁰ 2+c=2+b+2b 4⁰ c=3b b²=a*c

	2+b
b2=		*3b
	2

2b²=6b+3b² b²+6b=0 b(b+6)=0 b=0 v b+6=0 b=0 v b=−6 I przypadek, gdy b=0

	2+b
a=		=1
	2

c=3b=0 Sprawdzam czy te liczby będą tworzyły zarówno ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Mam takie liczby: 2;1,0;0 Trzy pierwsze z nich tworzą ciąg arytmetyczny, a więc r=const r=1−2=−1 r=0−1=−1 Zgadza się Trzy ostatnie z nich tworzą ciąg geometryczny, a więc q=const

	0
q=		=0
	1

	0
q=		=0 Mimo, że się zgadza, że q=const, to wiemy, że nie można dzielić przez zero. Wtedy
	0

wyrażenie nie ma sensu liczbowego. A więc w tym przypadku nie ma takich liczb spełniające założenia II przypadek, gdy b=−6

	2+b
a=		=−2
	2

c=3b=−18 Sprawdzam czy te liczby będą tworzyły zarówno ciąg arytmetyczny i ciąg geometryczny. Mam takie liczby: 2;−2;−6;−18 Trzy pierwsze z nich tworzą ciąg arytmetyczny, a więc r=const r=−2−2=−4 r=−6−(−2)=−4 Zgadza się Trzy ostatnie z nich tworzą ciąg geometryczny, a więc q=const

	−6
q=		=3
	−2

	−18
q=		=3
	−6

Zgadza się Odp. Jedynymi liczbami spełniającymi założenia są: a= −2 ; b= −6 ; c= − 18

5-latek: a=−2, b=−6 c=−18 to sa dobre rozwiazania ale sprawdz czy spelniaja warunki zadania . Sprawdz sume wyrazow skrajnych i porownaj z suma wyrazow srodkowych

Piotr 10: Sprawdzam: 2;−2;−6;−18 2+(−18)=−16 (−2)+(−6)=−8 A więc suma wyrazów skrajnych jest dwa razy większa od wyrazów środkowych. A ten I przypadek dobrze rozważyłem?

5-latek: Ale suma wyrazow skkrajnych jest mniejsza od sumy wyrazow srodkowych wiec istnieja takie liczby czy nie istnieja ?

Piotr 10: Faktycznie hmmm nie wiem

Piotr 10: Może ten "−" nie odgrywa tu roli?

Piotr 10: Wiem chyba już jak −16=−8 mnożę razy (−1) i otrzymuję 16=8

Piotr 10: −16=2*(−8) −16=−16 16=16 L=P

5-latek: Wobec tego nie istnieja . Jeszcze znalazlem takie . Utworzyc ciag arytmetyczny o nastepujacych wlasnosciach 1. Pierwszy wyraz ciagi =1 a ostatni =31 2. Suma wszystkich wyrazow od drugiego do przedostatniego wlacznie jest czterokrotnie wieksza od sumy dwoch najwiekszych sposrod nich .

Piotr 10: A to co zrobiłem? −16=2*(−8) −16=−16 ?

Piotr 10: OK ja muszę iść już. Jak będziesz miał czas to sprawdź to co napisałem do tego zadania 3

5-latek: Inaczej liczby 2,a b c sa to cztery kolejne liczby czyli mamy taki ciag a_n= {2,−2,−6 −18} Wyliczyles r=−4 to teraz sprawdz czy te liczby tworza ciag arytmetyczny Jaki powiniem byc wyraz czwarty zeby to byl ciag arytmetyczny o tej roznicy r=−4 Wniosek : Zeby ciag byl ciagiem arytmetycznyn suma wyrazow skrajnych musi byc rowna sumie wyrazow srodkowych To samo dla geometrycznego . Wyliczyles ze q=3

	a4		a3		a2
Wiec sprawdzmy q=		=3, q=		=3 q=		nie jest rowne 3 wiec te
	a3		a2		a1

liczby tez nie tworza ciagu geometrycznego .Wiec jaki powinien byc pierwszy wyraz zeby to byl cieg grometryczny . Teraz sobie odpowiedz na pytanie . Czy przy tak zadanych warunkach zadania istnieja takie liczby

Piotr 10: Ale dlaczego bierzesz czwarty wyraz? Przecież ciąg arytmetyczny to trzy pierwsze wyrazy, a ciąg geometryczny to trzy ostatnie wyrazy. Nie rozumiem

Piotr 10: Zadanie 2 Zadanie nr 2. Dwa ciągi geometryczny i arytmetyczny maja równe pierwsze wyrazy a1=4 oraz równe trzecie wyrazy. . Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o dwa razy większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego . Znajdź te ciągi . Rozwiązanie: Ciąg geometryczny: a₁=4 a₃=x a₂ Ciąg arytmetyczny: a1=4 a3=x a2 a2=2a₂ a₃=a3 a₁*q²=a₁+2r 4q²=4+2r 2q²=2+r r=2q²−2 2a₂=a2 2a₁q=a₁+r 2*4q=4+2q²−2 2q²+2−8q=0 q²−4q+1=0 Δ=16−4=12 √Δ=2√3 q₁=2+√3 v q₂=2−√3 r₁=2(2+√3)²−2=2(4+2√3+3)−2=8+4√3+6−2=12+4√3 v r₂=12−4√3 I przypadek, gdy q₁=2+√3 ⋀ r₁=12+4√3 Ciąg arytmetyczny: a_n=a₁+(n−1)*r a_n=4+(n−1)(12+4√3)=4+12n+4√3n−12−4√3=−8−4√3+n(12+4√3) Ciąg geometryczny: a_n=a₁*qⁿ⁻¹ a_n=(8−4√3)(2+√3)ⁿ II przypadek, gdy q₂=2−√3 ⋀ r₂=12−4√3 Ciąg arytmetyczny: a_n=a₁+(n−1)*r a_n=4+(n−1)(12−4√3)=4+12n−4√3n−12+4√3=4√3−8 +n(12−4√3) Ciąg geometryczny: a_n=a₁*qⁿ⁻¹ a_n=(8++4√3)(2−√3)ⁿ

pigor: lub... , zadanie 3. Cztery liczby 2,a,b,c, są tak dobrane aby trzy pierwsze z nich tworzyły ciąg arytmetyczny a trzy ostatnie ciąg geometryczny . Suma wyrazów skrajnych jest dwa razy większa od sumy wyrazów środkowych. Znajdź te liczby. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− sprowadza się do rozwiązania układy równań: 2a=2+b i b²=ac, (*) ac>0 (jednakowych znaków) i 2+c=2(a+b) ⇒ ⇒ (**) b=2a−2 i (2a−2)²= ac i (***) c=2a+2b−2 ⇒ (2a−2)²= a(2a+4a−4−2) ⇔ ⇔ 4a²−8a+4−6a²+6a= 0 ⇔ −2a²−2a+4=0 ⇔ a²+a−2=0 ⇔ a=−2 lub a=1, stąd i z (**) i (***) (a= −2 i b= −6 i c= −4−12−2) lub (a= 1 i b= 0 i c= 2+2−2) , stąd i z (*) tylko liczby (a,b,c)= (−2,−6,−18) spełniają warunki zadania . ...

pigor: lub ..., zadanie 2. Dwa ciągi geometryczny i arytmetyczny mają równe pierwsze wyrazy a₁=4, oraz równe trzecie wyrazy. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest dwa razy większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego . Znajdź te ciągi . −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− niech 4,x,y − 3 pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego (a_n) , gdzie i q=¹₄x i a_n=4qⁿ⁻¹= ? 4,2x,y − 3 pierwsze wyrazy ciągu arytmetycznego (b_n) , gdzie r=2x−4 i b_n=4+(n−1)r= ? to z własności tych ciągów wystarczy rozwiązać układ równań : [x²=4y i (*) y>0 i 4x= y+4 ⇒ (**) y=4x−4 >0 i x²=4(4x−4) i (***) x>1 ⇒ x²−16x+16=0 ⇒ ⇔ x²−16x+64=64−16 ⇔ (x−8)²= 48 ⇔ |x−8|=4√3 ⇒ ⇒ x= 4(2+√3) i x>1, zatem z (**) y= 32+16√3−4 ⇒ y= 4(7+4√3) itd. ...

5-latek: Piotr i pigor . Odpowiedzi do zadania sa takie Artmetyczny 4,10,16 i geometryczny 4,8,16. pigor jest nie dwa razy wiekszy a o dwa razy wiekszy

Eta: Hej "małolatku" o 2 większy , ( bez słowa razy

Piotr 10: To w końcu jak moje rozwiązania wyglądają ?

pigor: ... nie ma pojęcia o 2 razy większy (jest to "masło maślane" delikatnie mówiąc), jeśli już, to o 2 większy, albo 2 razy większy, a ponieważ wyszły mi takie bzdety, to już wiem dlaczego, musi być po prostu o 2 większy , no i dobrze, a ponieważ wciąłem się, to spotkała mnie . ... "kara" i obiecuję, już tego nie zrobię .

pigor: ... nie widziałem Cię... Eta , pisząc swoje wyjaśnienie uwierz mi .

5-latek: Dobry wieczor Eta tak masz racje ma byc o dwa wiekszy. Nie wiem dlaczego napisalem o dwa razy wiekszy . Musialem spojrzec na inne zadanie ze zbioru i tak napisalem . Wiec przepraszam Piotra i pigora ze wprowadzilem ich w blad . Jeszcze raz ma byc o dwa wiekszy > tak jest w zadaniu w zbiorze Jeszce raz dziekuje Eta za zwrocenie uwagi na blad. Jeszce mam prosbe. Prosze abys sprawdzila to zadanie nr 2 z planimetrii czy dobrze rozwiazalem −chodzi o to zadanie gdzie do policzenia bylo pole czworokata.

Piotr 10: Witam Czyli w zadaniu ''Dwa ciągi geometryczny i arytmetyczny mają równe pierwsze wyrazy a1=4, oraz równe trzecie wyrazy. Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest dwa razy większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego . Znajdź te ciągi'' zamiast ''dwa razy'' to o 2 większy tak?

Piotr 10: I jak z tym zadaniem '' Cztery liczby 2,a,b,c, są tak dobrane aby trzy pierwsze z nich tworzyły ciąg arytmetyczny a trzy ostatnie ciąg geometryczny . Suma wyrazów skrajnych jest dwa razy większa od sumy wyrazów środkowych. Znajdź te liczby'' , które wcześniej rozwiązałem? Ja upieram się, że mam dobrze

5-latek: pigor . Nic nie szkodzi z e sie wciales . Nawet dobrze bo rozwiazalem to zadanie liczac o dwa wiekszy a potem bym sie spieral z Piotrem o rozwiazania

Eta: zad1/ ciąg geometryczny {a_n} : a, aq, aq² ,.... ,aqⁿ⁻¹

	1		1		1		1
ciąg geometryczny {bn} :		,		,		,... ,
	a		aq		aq2		aqn−1

	San
Z treści zadania mamy wykazać,że		= a*an
	Sbn

Dowód: ======

	a(1+q+q2+....+qn−1)
L=		=
	1   1   1   1   (1+ + +.....+ ) a   q   q2   qn−1

	a*a(1+q+q2+...+qn−1)
=		= ......
	qn−1+....+q2+q+1   qn−1

= a*a*qⁿ⁻¹ = a*a_n c.n.u

5-latek: tak Piotr ma byc o dwa wiekszy . jesli chodzi o to zadanie nr 3 to w odpowiedzi do tego zadania jest tak. Nie istnieja takie liczby . Jako formalne rozwiazanie otrzymamy a=−2,b=−6 c=−18 . . tak samo mi wyszlo . Liczby te nie spelniaja jednak warunkow zadania gdyz suma wyrazow skrajnych 2+(−16)=−16 jest mniejsza od sumy wyrazow srodkowych . .Moze Eta lub Mila wypowiedza sie na ten temat ja sobie to tak tlumacze jak Tobie napisalem..Ale moge sie mylic

Piotr 10: OK. To poczekajmy

Eta: Zad 3/ odp : a= −2, b= −6, c= −18 ( tak jak podałpigor sprawdzamy warunki zadania 1/ 2, −2, −6 −−− tworzą ciąg arytm, r= −4 2/ −2, −6, −18 −−− tworzą ciąg geom. q= 3 3/ suma wyrazów skrajnych : 2−18 = −16 podwojona suma wyrazów środkowych : 2(−2−6)=2*(−8)= −16 i wszystko gra i buczy

5-latek: Wobec tego przyjmujemy to do wiadomosci

Piotr 10: Zadanie nr 2.Boki trójkąta tworzą ciąg geometryczny . Jaki warunek musi spełniać iloraz q. Boki trójkąta to: a;b;c a=a₁ b=a₁*q c=a₁*q² 1⁰ Warunek a₁*q+a₁ >a₁*q² a₁≠0, gdyż jest to trójkąt q+1>q² q²−q−1<0 Δ=1+4=5 √Δ=√5

	1+√5		1−√5
q1=		⋁ q2=
	2		2

	1−√5		1+√5
q∊(		;		)
	2		2

2⁰ Warunek a₁+a₁*q² > a₁*q 1+q²>q q²−q+1>0 Δ<0 q∊R 3⁰ Warunek a₁*q+a₁*q²>a₁ q+q²>1 q²+q−1>0 Δ=5 √Δ=√5

	−1−√5		−1+√5
q1=		⋁ q2=
	2		2

	−1−√5		−1+√5
q∊(−∞;		)∪(		;+∞)
	2		2

	−1+√5		1+√5
10⋀20⋀30⇔q∊(		;		)
	2		2

Piotr 10: Uff to się cieszę . Jak możesz to sprawdź 5−latek te zadanie

Eta: Podam nieco inny sposób rozwiązania , od tego,który podał pigor 1/ 2,a,b −−− ciag arytm ⇒ 2a=2+b 2/ a,b,c −− ciąg geom ⇒ b²=ac , ac >0 i b ≠0 a, c jednakowych znaków 3/ 2+c = 2(a+b) −− z treści zad. to 2+c= 2a+2b ⇒ 2+c=2+b+2b ⇒ c=3b i b²=a*3b /:b ⇒ b= 3a i c= 9a zatem: 1/ 2a=2+3a ⇒ a= −2 2/ b=3a ⇒ b= −6 3/ c=9a ⇒ c= −18

Eta: zad2/ ok

Piotr 10: A mój sposób do tego zadania był bardzo długi post 16 sierpnia 10:52,a Twój Eta i pigora sposób o wiele krótszy post 16 sierpnia 10:52

Piotr 10:

Eta: No to przeanalizuj te sposoby rozwiązania Nie potrzeba wyciągać armaty by unicestwić "małą muszkę"

pigor: ..., o bbbaaaaaardzo ładnie Eta , dobranoc .

Piotr 10: Hehe . Nie myślałem, że w ten sposób można zrobić te zadanie. Doszukiwałem się dłuższego sposobu, bynajmniej ten sposób mi od razu przyszedł do głowy

Eta: Korzystaj z własności : ( będziesz mieć krótsze rozwiązanie) a,b,c −−− tworzą ciąg arytmetyczny ⇒ 2b=a+c −−− średnia arytmetyczna a,b,c −−− tworzą ciąg geometryczny ⇒ b²=a*c −−− średnia geometryczna

Eta: Kolrowych snów pigor

Eta: @Piotr https://matematykaszkolna.pl/forum/209001.html

5-latek: CO do zadanie nr2 to juz wiesz ze ok . Tylko ja zapisalem tak rozwiazanie

	1		1
		(√5−1)<q<		(√5+1)
	2		2

Eta: Ładniejszy jest zapis Piotra

5-latek:

Eta: @"małolatka" zad2/(z planimetrii) o które pytałeś jest jak najbardziej poprawnie rozwiązane

Eta: A jak tam moje rozwiązanie zad1/ z początku tego postu ( może być ?

5-latek: Dziekuje bardzo Jak najbardziej dobrze

5-latek: To jeszcze zostalo Piotrowi zadanie nr 3 i to zadanie z godz 11.51.

Piotr 10: 5−latek i jeszcze 2 zadania z innego postu . Jedno ze stosunkiem a drugie muszę poprawić rozwiązanie, bo był błąd w treści

Piotr 10: Eta fajny drugi sposób rozwiązania tego dowodu, z linku którego mi dałaś

5-latek: Zadanie nr 3. Piotr zauwaz ktorym wyrazem roznia sie te ciagi . Teraz juz powinno byc wszystko jasne

Piotr 10: OK. A zadanie z postu 16 sierpnia 11:51 to wychodzą ''ładne liczby'' czy z pierwiastkami?

5-latek: Mi wyszly ladne No to zrob to zadanie nr 3 .

Piotr 10: Ok biorę się za te zadanko numer trzy

5-latek: Piotr to jest bardzo proste zadanie tylko musisz po prostu cos zauwazyc

Piotr 10: Już jestem. Miałem problem z internetem. Wyszło mi, że ciąg arytmetyczny ma większą sumę

5-latek: No nie tylko wieksza .

Piotr 10: Hmm, czyli źle?

5-latek: Ja zrobilem to tak Mam wyrazy a₁,a₂i a₃

	a1+a3
Wyraz a2 =		−dla ciagu arytmetycznego
	2

Wyraz a₂=|a₂|=√a₁*a₃ dla ciagu geometrycznego . Teraz widzisz srednie . jakie sa zaleznosci ?

Piotr 10: Ciąg arytmetyczny ≥ Ciąg geometryczny ze średniej

5-latek: A kiedy jest rowny ?

Piotr 10: Gdy a₁=a₃

5-latek:

	a1+a3
czyli w naszym zadaniu mozemy zapisac ze		≥√a1*a3 wobec tego suma wyrazow
	2

ciagu arytmetycznego jest wieksza lub rowna sumie wyrazow ciagu geometrycznego

5-latek: Piotr rowny gdy a₁=a₂=a₃

Piotr 10: A mogę przedstawić swoje rozwiązanie? Bo ja robiłem kompletnie w inny sposób i wyszło mi tylko, że suma ciąg arytmetyczny > ciąg geometryczny

Piotr 10: No tak gdy a₁=a₃, to a₂=a₂

5-latek: No to teraz to zadanie z ciagiem arytmetycznym . . TO jest troche trudne zadanie Musisz policzyc roznice r , ilosc wyrazow i wyznaczyc ten ciag

5-latek: Pewnie ze tak

Piotr 10: Ciąg arytmetyczny: a;b;c a=a b=a+r c=a+2r Ciąg geometryczny: d;e;f d=a_x e=a_x*q f=a_x*q² a=a_x a+2r=ax_q² a+2r=a*q²

	a(q2−1)
r=
	2

	b
Obliczam teraz stosunek
	e

a+r		a(q2+1		q2+1
	=		=
a*q		2a*q		2q

q²+1≥2q Dla każdego q∊R jest to spełnione A więc wyraz b≥e Czyli Suma ciągu arytmetycznego≥Suma ciągu geometrycznego Znalazłem błąd, gdyż uznałem wcześniej, że q²+1>q Sprawdź jak możesz

Piotr 10: Powinno być q²+1>2q w przedostatniej linijce

5-latek: Piotr pozniej sprawdze gdyz bardzo zle sie poczulem i musze opuscic forum

Piotr 10: OK. To ja spróbuję zrobić resztę zadań

Piotr 10: Zadanie Utworzyc ciag arytmetyczny o nastepujacych wlasnosciach 1. Pierwszy wyraz ciagi =1 a ostatni =31 2. Suma wszystkich wyrazow od drugiego do przedostatniego wlacznie jest czterokrotnie wieksza od sumy dwoch najwiekszych sposrod nich . Rozwiązanie: a₁=1 a_n=31 a₂+a₃+......+a_n−1=4*(a_n−2+a_n−1) 1⁰ a_n=a₁+(n−1)*r 31=1+(n−1)*r 30=n*r−r 2⁰ a₂+a₃+......+a_n−1=4*(a_n−2+a_n−1) a₂=a₁+r a_n−1=31−r a_n−2=31−2r

	a2+an−1
		*(n−2)=4*(an−2+an−1)
	2

	a1+r+31−4
		*(n−2)=4*(31−2r+31−r)
	2

	32
		*(n−2)=4*(62−3r)
	2

3⁰ 4n+3r=70 4n+3r=70 30=nr−r

	30
r=		, gdzie n≠1. Wstawiam to do równania 30 i otrzymuję,że
	n−1

2n²−37n+80=0 Δ=729 √Δ=27 n₁=16 ⋁ n₂=2,5 Wiem, że n∊N₊ n₁=16 ∊N₊ n₂=2,5∉N₊ Liczę teraz r

	30
r=		=2
	n−1

a_n=a₁+(n−1)*r a_n=1+(n−1)*2 a_n=2n−1

Piotr 10: Zadanie Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa połowie sumy n następnych wyrazów . Oblicz stosunek sumy 3n pierwszych wyrazów tego ciągu do sumy n początkowych wyrazów . Rozwiązanie:

	1
10 Sn=		(S2n − Sn)
	2

	1
20 S2n=		(S3n − S2n)
	2

	3		1
10		Sn=		S2n
	2		2

	S2n
Sn=
	3

	3		1
20		S2n=		S3n
	2		2

S_3n=3S_2n

	S3n
Szukam stosunku		= 9:1
	Sn

Odp: Szukany stosunek to 9:1

5-latek: Mi w zadaniu ze stosunkiem wyszlo 6 Natomiast w zadaniu z ciagiem tez wyszlo mi z eten ciag ma 16 wyrazow i roznica r=2 Przedstawie CI moje rozwiazanie tego zadania Przyjalem ze liczba wyrazow tego ciagu =n+2(bo n to liczba wyrazow z wyjatkiem pierwszego i ostatniego)

	30
Z warunku pierwszego zapisalem ze 31=1+(n+1)*r i wyliczylem ze r=
	n+1

	30		n+31
Wiec wyraz drugi a2=1+		=
	n+1		x+1

	30		31n+1
Obliczylem wyraz przedostatni an+1=1+		*n=
	n+1		n+1

Teraz policzylem sume wyrazow od a₂do a_n+1 wiec

	1		n+31		31n+1
Sn+1=		(		+		)*n=16n
	2		n+1		n+1

	30
Z tego ze r=		>0 widze ze moj ciag bedzie rosnacy wiec najwiekszymi wyrazami w ciagu
	n+1

a₂, a₃ ,a₄..........,a_n,a_n+1 beda wyrazy a_n i a_n+1

	30		30		62n−28
Suma an+an+1=1+(n−1)*		+1+n*		=
	n+1		n+1		n+1

	62n−28
Na podstawie warunku drugiego w zadaniu mam 4*		=16n po rozwiazaniu wyszlo mi
	n+1

n₁=0,5 i n₂=14 . Wiec przyjmuje n=14 masz szukany ciag ma 16 wyrazow bo n+2=14+2=16 wobec tego r={30}{n+1}=2 Wiec mamy taki ciag {1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 } Wedlug mnie roznica w rozwiazaniach polega na tym ze TY nie wykazales ze wyrazy a_n−2i a_n−1 beda to najwieksze wyrazy od a₂ do a_n−1 tylko od razu przyjales ze tak bedzie

5-latek: Tam gdzie jest wiec wyraz drugi a+2= ..... ma byc w mianowniku n+1 a nie x+1 . Z przyzwyczajenia napisalem x

Eta: @"małolatka" Rozwiązanie przez Piotra jest poprawne ,bo ciąg jest rosnący 31> 1 zatem można przyjąć ,że a_n−2 <a_n−1 <31 Poza tym wszystko ok

5-latek: Dzien dobry Eta . Dobrze ze jestes.

5-latek: Dla odmiany takie zadanko. Pracownikowi zatrudnionemu przez 11 dni zaproponowano do wyboru dwie umowy ;

	A
1.Pierwszego dnia otrzyma A zl a za kazdy nastepny dzien otrzyma o		zl wiecej niz za
	10

dzien poprzedni .

	A
2. Pierwszego dnia otrzyma		zl a za kazdy nastepny dzien otrzyma dwrukrotnie wiecej
	100

niz za dzien poprzedni . Ktora z tych dwoch umow jet dla pracownika korzystniejsza.

Eta: przedszkolne zadanie Pozdrawiam

5-latek: Eta bo ja jestem przedszkolakiem

Eta:

Piotr 10: A zadanie ze stosunkiem hmm ? Mam źle?

Piotr 10: 5−latek sprawdź jeszcze jak możesz post 12:07 Lub może Eta . Bo wtedy miałem mały błąd w liczeniu

5-latek: Moze jednak popros Ete bo ja nie rozumie tego co zrobiles w koncowce . jak z rownosci przeszedles do nierownosci .Przepraszam

Piotr 10: Chodzi Ci o zadanie z porównaniem sumy ciągu arytmetycznego i geometrycznego ?

5-latek: tak o to zadanie

Piotr 10:

	q2+1
...=		⇒ Jest to stosunek liczby b do e. Liczba b− ciąg arytmetyczny. Liczba e− ciąg
	2q

geometryczny Z tego widać, że q²+1≥2q, a więc liczba b≥e

Eta: Nie widzę treści zadania ?

Piotr 10: . Ciag arytmetyczny sklada sie z trzech dodatnich wyrazow . Takze ciag geometryczny sklada sie z trzech wyrazow dodatnich. .Pierwsze i trzecie wyrazy w obu ciagach sa jednakowe. Zbadaj ktory ciag ma wieksza sume Post 17 sierpnia 12:07

5-latek: Eta ja to zrobilem tak ja w poscie 11.54

Eta: Ja bym rozwiązała tak:

	x+y
ciąg arytmetyczny {an} : a1,a2,a3 a1=x a3=y to a2=
	2

x, y>0 ciąg arytmetyczny {b_n} : b₁, b₂, b₃ b₁=x , b₃=y to b₂= √xy załóżmy,że taka suma jest : a₁+a₂+a₃<ab₁+b²+b₃

	x+y
to: x+		+y< x+√xy+y
	2

⇒ x+y < 2√xy (√x−√y)²<0 −−− sprzeczność zatem (√x−√y)² ≥0 czyli S_an ≥S_bn dla x=y zachodzi równość, czyli obydwa ciągi mają taką samą sumę Można też od razu z nierówności między średnimi am − gm

Piotr 10: A mój sposób rozwiązania? Dobry czy zły?

Eta: No dobry, tylko taki "pokrętny" jak dla mnie

5-latek: No i gitara. czyli mamy Piotr nastepne zrobione i sprawdzone dziekujemy

Piotr 10: Wiem, że "pokrętny'' zauważyłem, że wszystkie zadania z ciągów jakie jak najdłuższymi sposobami, nie wiem czemu tak . Dziękujemy Eta za sprawdzenie . A zadanie ze stosunkiem ''Suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego jest równa połowie sumy n następnych wyrazów . Oblicz stosunek sumy 3n pierwszych wyrazów tego ciągu do sumy n początkowych wyrazów'' post 13:40

Eta: Poprawiam zapis ( bo wkradły się chochliki ...wrrr) "załóżmy,że a₁+a₁+a₃< b₁+b₂+b₃

Piotr 10: Mi wyszło, że 9 a 5−latkowi wyszło, że 6

Piotr 10: Jeszcze 5−latek zostało mi 2 zadania z ciągów: 1.Dwa ciągi geometryczny i arytmetyczny maja równe pierwsze wyrazy a1=4 oraz równe trzecie wyrazy. . Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o dwa większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego . Znajdź te ciągi . 2.Udowodnic ze suma odwrotnosci wszystkich wyrazow skonczonego ciagu geometrycznego rowna jest sumie jego wszystkich wyrazow podzielonej przez iloczyn pierwszego i ostatniego wyrazu. Te drugie zadanie, Eta zrobiła, ale ja spróbuje je samemu jutro zrobić

5-latek: Juz CI podalem rozwiazanie do 1 zadania 16.08 godz 23.13. Drugie jesli chcesz to probuj

Piotr 10: Tak wiem .Dzisiaj już starczy chyba , bo sporo rozwiązywałem zadań zarówno z ciągów jak i z dowodami . A zadanie ze stosunkiem hmm ? Czekamy na Ete ?

Eta: ok

Piotr 10: Zadanie Dwa ciągi geometryczny i arytmetyczny maja równe pierwsze wyrazy a1=4 oraz równe trzecie wyrazy. . Drugi wyraz ciągu arytmetycznego jest o dwa większy od drugiego wyrazu ciągu geometrycznego . Znajdź te ciągi . Rozwiązanie: Ciąg arytmetyczny: a_1'=4 a_2'=a₁+r a_3'=a₁+2r Ciąg geometryczny: a₁=4 a₂=a₁*q a₃=a₁*q² a_1'=a₁ a_2'=2+a₂ a_3'=a₃ a₁+2r=a₁*q²

	a1*q2−a1
r=		=2q2−2
	2

a₁+r=2+a₁*q q²−2q=0 q(q−2)=0 q=0∉ założenia ⋁ q=2∊ założenia

	a1*q2−a1
r=		=2q2−2=6
	2

Ciąg arytmetyczny: a_1'=4 a_2'=10 a_3'=16 Ciąg geometryczny: a₁=4 a₂=8 a₃=16

zm: Jest ok. Można też tak: (ładniej rozpisać) a₁=4 i b₁=4 ciąg arytmetyczny {an}: 4,4+r, 4+2r ciąg geometryczny {bn}: 4,4q, 4q² , q≠0 z treści zadania: a₃=b₃ i a₂= b₂+2 4+2r=4q² 4+r=4q+2 ⇒r=4q−2 4+8q−4=4q² ⇒ q²−2q=0 ⇒ q(q−2)=0 ⇒ q=2 lub q=0 −− nie spełnia warunków zadania dla q=2 r= 6 odp: {an} : 4, 10,16 i {bn} : 4,8,16

5-latek: To jeszce poczekamy na Ete z tym zadaniem ze stosunkiem. nastepne . Jesli oznaczymy prze S₁ sume n₁ wyrazow przez S₂ sume n₂ wyrazow oraz przez S₃ sume n₃ wyrazow dowolnego ciagu arytmetycznego .to wykaz ze wowoczas zachodzi zaleznosc

	S1		S2		S3
		(n2−n3)+		(n3−n1)+		(n1−n2)=0
	n1		n2		n3

Zadanko ze zbioru zadan z matematyki elementarnej O.Stande Zadanie . Czy trzy liczby moga tworzyc jednoczesnie postep (ciag) geometryczny i artymetyczny. tez z tego zbioru

5-latek: http://allegro.pl/zbior-zadan-z-matematyki-elementarnej-ehrenfeucht-i3462726982.html to jest etn zbor . Zamow go sobie . sa tam rzeczy ktorych teraz nie ma w programie szkolnym ale nic nie szkodzi . Przyda sie na studia Zapytaj Ety moze ma . Bedziesz mial od niej prezent

5-latek: Eta .mam pytanie? czy TY nie przesadzilas z tym wiekiem? Pytam bo podczas rozmowy z Krystek− pozdrawiam i kiedy bedziesz na forum? ona stwierdzila ze Eta i mila to sa jeszcze mlode panie

Piotr 10: OK. Myślę,że 5−latek starczy tych zadań z ciągów. Zrobię oczywiście jeszcze te 2 zadania podane przez Ciebie oraz te zadanie ''.Udowodnic ze suma odwrotnosci wszystkich wyrazow skończonego ciągu geometrycznego..'' A zadanie ze stosunkiem mam dobrze chyba bo Eta to potwierdziła post 17 sie 22:06

Piotr 10: Zadanie Czy trzy liczby moga tworzyc jednoczesnie postep (ciag) geometryczny i arytmetyczny? Rozwiązanie: Liczby: a ; b; c Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:

	an−1+an+1
an=		dla dla n≥2
	2

	a+c
b=
	2

zm: Jedynie ciąg stały liczb różnych od zera jest jednocześnie ciągiem arytmetycznym i geometrycznym

Piotr 10: Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: a²_n=a_n−1*a_n+1 dla n≥2 b²=a*c

a+c
	2=a*c
2

a²+2ac+c²=4ac (a−c)²=0 * √ Ia−cI=0 a=c

	a+c
b=		=a
	2

a=c ; a=b, czyli a=b=c. A więc w ciągu arytmetycznym r=0 , a w ciągu geometrycznym q=1 Trzy liczby mogą tworzyć jednocześnie postęp geometryczny i arytmetyczny⇔a=b=c

Piotr 10: Eta czyli dobrze rozwiązałem? Bo gdy a=b=c to będzie ciąg stały

5-latek: To ze stosunkiem zrobilem tak S_n=a₁+a₂+a₃+....a_n

	1
z warunkow zadania mam ze Sn=		(S2nSn) wiec 3*Sn=S2n
	2

	n
Z rownosci 3Sn=S2n mam ze 2a1=r(n+1−skorzystalem z ewzoru na Sn=[2a1+(n−1)r]*
	2

	S3n		2a1+(3n−1)*r		n+1+3n−1
Wobec tego		=3*		=3*		=6
	Sn		2a1+(n−1)r		n+1+n−1

Piotr 10: 5−latek sprawdź jak możesz te zadanie ostatnie co dodałem

5-latek: Poprawiam

	1
Z warunkow zadania mam ze Sn=		(S2n−Sn) i dalej juz OK
	2

5-latek: Dobrze. Ja to tylko rozwiazalem inaczej ale wyszlo mi to samo ze wyrazy musz byc rowne .Ja sobie przyjalem oznaznaczenia a₁=a₂=a₃

Piotr 10: OK. To czekamy na Ete z tym zadaniem ze stosunkiem . Moja odpowiedź do zadania ze stosunkiem to post 17 sierpnia 13:40 . Dzięki 5−latek za sprawdzenie

5-latek: Dobrze. Poczekamy na Ete . jezeli zechce niech sprawdzi Na tym zakonczymy ciagi.czy wobec tego przydatne byly dla Ciebie te zdania ?

Piotr 10: Jeszcze zostały mi dwa ostatnie zadania z ciągów zadanie 1 post 18 sie 16:48 oraz jeszcze jedno zadanie . Dzisiaj spróbuje je rozwiązać

Piotr 10: Na razie te zadanie post 1 post 18 sie 16:48 wydaje się dosyć trudne, ale inne zrobię zadanie

5-latek:

	2a1+(n−1)*r
Jest taki wzor na sume Sn=		*n wiec oblicz wedlug tedgo wzoru sume S1,S2 i
	2

S₃ .

	S1		S2
Jak bedziesz mial wypisane sumy to wyznacz z nich stosunek		,		i
	n1		n2

	S3
		i dalej pomysl co trzeba zrobic.
	n3

Piotr 10: OK. Tak myślałem, że trzeba tego wzoru użyć. Już zrobiłem 2 zadania z ciągów, jedno z matury,a drugie zadanie z udowodnieniem, które mi podałeś, ale rozwiązania nie będę pisał, bo Eta je już rozwiązała . Jeszcze mi zostało te właśnie zadanie, już ostatnie

Piotr 10: Zadanie Jeśli oznaczymy prze S₁ sumę n₁ wyrazów przez S₂ sumę n₂ wyrazów oraz przez S₃ sumę n₃ wyrazów dowolnego ciągu arytmetycznego to wykaz,ze wówczas zachodzi zależność:

S1		S2		S3
	*(n2−n3) +		*(n3−n1) +		*(n1−nn) = 0
n1		n2		n3

Rozwiązanie:

	2a+(n−1)*r
Sn=		*n
	2

	2a+(n1−1)*r
S1=		*n1
	2

	2a+(n2−1)*r
S2=		*n2
	2

	2a+(n3−1)*r
S3=		*n3
	2

	2a+(n1−1)*r
10		*n1*(n2−n3)
	2n1

	2a+(n2−1)*r
20		*n1*(n3−n1)
	2n2

	2a+(n3−1)*r
30		*n3*(n1−n2)
	2n3

1⁰ 2a*n₂ − 2a*n₃+r*n₁*n₂ − r*n₁*n₃ − r*n₂ + r*n₃ 2⁰ 2a*n₃ − 2a*n₁+n₂*r*n₃ − n₂*r*n₁+−r*n₃+r*n₁ 3⁰ 2a*n₁ − 2a*n₂+r*n₃*n₁ − r*n₃*n₂ − r*n₁ + r*n₂ 1⁰+2⁰+3⁰=0 Po dodaniu tych wyrażeń otrzymuję zero, a więc 0=0 Wykonując ciąg równoważnych przekształceń doszedłem do wniosku, że równość końcowa jest prawdziwa, a więc równość wyjściowa też musi być spełniona. c.n.u

Piotr 10: Ok. Dziękuję Ci 5−latek za pomoc w ciągach i za poświęcony czas . Bardzo przydały mi się te zadania, które mi podawałeś i już o wiele lepiej umiem te ciągi

5-latek: Dobrze . Tylko gdzie a to bym napisal a₁ ja rozwiazalem to zadanie tak Suma S₁,S₂,S−3 tak samo jak u Ciebie

	S1		1
Potem		=a1+(n1−1)*		r
	n1		2

	S2		1
		=a1+(n2−1)*		r
	n2		2

	s3		1
		=a1+(n3−1)*		r
	n3		2

Mnoze kolejno przez (n₂−n₃) ,(n₃−n₁) a takze przez (n₁−n₂) i dodaje stronami

	S−1		S2		S3
		(n2−n3)+		(n3−n1)+		(n1−n2)=a1*[(n2−n/div>
	n1		n2		n3

	1
3)+(n3−n1)+(n1−n2)]+		r*[(n1−1)(n2−n3)+(n2−1)(n3−n1)+(n3−1)(n1−n2)]
	2

Te wyrazenia ktore mam w nawiasach kwadratowych sa tozsamosciowo rowne 0 wiec mamy z tego ze

	S1		S2		S3
		(n2−n3)+		(n3−n1)+		(n1−n2)=0 co mielismy udowodnic
	n1		n2		n3

na tym zakonczymy ciagi> . Powodzenia w dalszej nauce

5-latek: Pisalem ten swoj ostatni post nie widzac Twojego wpisu . Byla to dla mnie sama przyjemnosc wspolpracowac z Toba. Jeszcze raz zycze powodzenia w nauce Mysle ze szczegolne podziekowania naleza sie tez dla Ety za sprawdzanie rozwiazan

Piotr 10: Oczywiście Eta też Ci dziękuję za sprawdzanie moich ''pokrętnych'' rozwiązań . Myślę, że jeszcze nie raz mi pomożesz, bo za rok matura . Pozdrawiam

bezendu: Piotr matura już bliżej niż za rok

Piotr 10: Nie strasz mnie bezendu tą maturą

bezendu: Nie straszę ja sam muszę się jeszcze wiele rzeczy nauczyć

Piotr 10: To tak samo jak ja, muszę logarytmy ogarnąć jeszcze do końca sierpnia, a jeszcze ich nawet nie zacząłem

bezendu: ja miałem logarytmy już nie miałem statystyki, prawdopodobieństwa, kombinatoryki i geometrii w przestrzeni

Piotr 10: Ja nie miałem tego wszystkiego co napisałeś plus logarytmy, trygonometria(ale to powtórzenie bardziej), geometria analityczna na płaszczyźnie(też już ten dział miałem trochę w drugiej kl) . A logarytmy to chyba trudne jakoś nie są?

bezendu: nie są ale ja mam podstawę w szkole

Piotr 10: Ja mam rozszerzenie, ale i tak muszę w domu samemu dużo robić zadań