Ciagi 5-latek: Zadania z ciagow dla [c[Piotra10] o ktore prosil Z ciagow arytmetycznych Zadanie nr 1. Wyznacz ciag arytmetyczny w ktorym suma poczatkowych 4 wyrazow jest rowna 26 a ich iloczyn 880. Zadanie nr 2 dany jest ciag wyrazow (a+x)²,(a²+x²). (a−x)²,... . Wykaz ze wyrazy te tworza ciag arytmertyczny i takze wyznacz sume n jego wyrazow

Nie bo matura: a₁+a₁+r+a₁+2r+a₁+3r=26 4a₁+6r=26 /2 2a₁+3r=13 a₁(a₁+r)(a₁+2r)(a₁+3r)=80 2a₁=13−3r/2

	13
a1=		−{3}{2}r
	2

dobrze kombinuje ?

5-latek:

	13−3r
a1=
	2

Napisz tez drugie rownanie i podstaw a₁ do drugiego. Ale to mialy byc zadania dla Piotra 10 . Wiec moze przez jakis czas wstrzymaj sie z rozwiazywaniem na forum . Dobrze?.

bezendu: a²+x²−(a²+2ax+x²) a²+x²−a²−2ax−x² −2ax a²−2ax+x²−a²−x²=−2ax wyrazy te tworzą ciąg arytmetyczny ponieważ różnica dwóch kolejnych wyrazów jest stała Przepraszam, Piotr10 ale i tak do rana by ktoś rozwiązał

Mila: Jutro napiszę zadanka z ciągów. Dobranoc

5-latek: Skoro juz rozwiazales 2 zadanie do jeszcze dokoncz je wyznaczajac sume n poczatkowych wyrazow.

5-latek: bezendu . Czy rozwiazujesz zdaniaz planimetrii ktore masz w poscie Ety Zostalo CI jeszcze moje zadanie z trojkatem rownoramiennym . Rozwiaz je

bezendu: 5−latek jutro rozwiąże na 100 % dziś się jeszcze bawię z nierównościami wielomianowymi

5-latek: Dobrze . Tylko poznym wieczrem bo wroce z pracy okolo 22.30 (druga zmiana )

bezendu: dobrze to spokojnej nocy i do jutra

Piotr 10: Zadanie 1 Dane: S₄=26 a₁*a₂*a₃*a₄=880

	2a1+(n−1)r
Sn=		*n
	2

	(2a1+3r)
S4=		*4
	2

	(2a1+3r)
26=		*4
	2

26=(2a₁+3r)*2 2a₁+3r=13

	13−3r
a1=
	2

a₁*a₂*a₃*a₄=880 a₁(a₁+r)(a₁+2r)(a₁+3r)=880

13−3r		13−3r		13−3r		13−3r
	(		+r)(		+2r)(		+3r)=880
2		2		2		2

Hmm ? Wykonać mnożenie teraz, chyba jakiś ciąg tutaj jest, ale nie wiem ....... Zadanie 2 Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek:

	an−1+an+1
an=		dla n≥2
	2

	(a−x)2+(a+x)2
a2+x2=
	2

	2a2+2x2
a2+x2=
	2

a²+x²=a²+x² Ls=Ps. Wykonując ciąg równoważnych przekształceń doszedłem do wniosku, że równanie końcowe jest spełnione, a zatem równanie wyjściowe też musi być prawdziwe. Zatem wyrazy te tworzą ciąg arytmetyczny.

	a1+an
Sn=		*n
	2

	as
Sn=		*n
	2

	a2+x2
S3=		*3
	2

	3a2+3x2
S3=
	2

Piotr 10: Zadanie 2 S_n=(a²+x²+3ax−axn)*n <Poprawka. Dziwny ten wzór jakoś

5-latek: Masz dwa wzory na sumeS_n n wyrazow ciagu arytmetycznego .Do tego wzoru co napisales wyznacz wyraz a_n . Zeby wyznaczyc wyraz a_n potrzebna CI jest roznica r . Wyznacz roznice r korzystajac z tego ze r=a₂−a₁ i r=a₃−a₂ − przy okazji dowiesz sie czy jest to ciag

	2a1+r(n−1)*n
arytmetyczny jesli roznica jest stala Jest jeszcze drugi wzor na Sn=
	2

Zadanie nr1 . Musisz to dobrze sam policzyc. jesli podstawisz a₁ do drugiego rownania i poredukujesz to co

	13−3r		13−r		13+r		13+3r
jest w nawiasach dostaniesz		*		*		*		=880
	2		2		2		2

Teraz Piotr tak wiadomo co trzeba zrobic zeby pozbyc sie mianownika Korzystajac z wlasnosci ze mnozenie jest przemienne juz po pozbyciu sie mianownika zawaz moze wzor skoconego mnozenia −co bedzie jesli pomnozysz najpierw 1 z 4 wyrazem i potem 2 z 3 i licz dalej

5-latek: A kto powiedzial ze musi byc ladny wynik zawsze

Piotr 10: Czyli S_n w zadaniu 2 dobrze policzyłem?

5-latek: Piotr ja tez robie to zadanie z Toba bo je dostalem i uwazalem ze bedzie dla Ciebie odpowiednie

ZKS: Wystarczy zauważyć że różnicą tego ciągu jest r = −2ax. (a − x)² = (a² + x²) − 2ax = (a + x)² − 4ax

Piotr 10: W ogóle czemu nie wziąłem tego do wspólnego mianownika.. Ja to na początku mnożyłem i kosmos normalnie. Nie myślę jakoś teraz, może przemęczenie, może przerwę sobie zrobić kilkudniową ?

5-latek: Piotrek roznica r powwinna CI wyjsc r=−2ax

	[2(a+x)2−2ax(n−1)]*n
Jesli podstawimy teraz do wzoru Sn=		=[a2+(3−n)ax+x2]*n
	2

Skorzystalem z tego drugiego wzoru Ty sobie wylicz z tego co najpierw napisales i sprawdz

Piotr 10: Błąd w rachunkach bo tak samo wyjściowe napisałem... szlak mnie trafia już, same błędy ostatnio...

5-latek: Piotrek w tym 1 zadaniu wyszly mi 4 rozwiazania . . Troche duzo no ale tez nie napisali ze musi byc tylko jedna czy dwa rozwiazania

Piotr 10: OK. Wyszło mi w tym drugim zadaniu taki wynik jak Ty otrzymałeś. Błąd nad błędem robiłem

5-latek: Wiec dokoncz to 1 zadanie i odpocznij . Mam je rozwiazane wiec sprawdze czy dobrze masz . Bede jeszce chwile na forum .

Piotr 10: OK

5-latek: Powiem CI ze nieciekawie te rozwiazania wygladaja . Sam sie nameczylem jak cholera

Piotr 10:

	√1609		√1609
x1=		v x2= −		v x3=3 v x4=−3 . Tak na szybko
	3		3

Piotr 10: I jak ?

5-latek: Piotrek wyszlo mi tak samo −tylko moze nie x a roznica r czyli r₁,r₂.r₃ i r₄

	13−3r
Teraz z tego ze a1=		wyznacz kilka poczatkowych wyrazow tego ciagu
	2

Czy przydatne byly te zadania dla Ciebie ?

Piotr 10: A pomyliłem zamiast r to x. Wcześniej jeszcze zmienna pomocniczą podstawiłem t. Tak, niby na pierwszy rzut oka łatwe, ale w tych obliczeniach to człowieka szlak może trafić. Dziwne, że mi od razu mi dobrze wyszło, bo nie sprawdzałem tego w ogóle. Teraz muszę po po prostu sobie odpocząć do 4−5 dni Dzięki za pomoc , Wyznaczyć to już łatwo, tylko trzeba uważać na ten pierwiastek

5-latek: Odpocznij a po odpoczynku takie Znalezc cztery liczby tworzace ciag geometryczny gdzie suma wyrazu 1 i 4 = 27 a iloczyn wyrazu 2 i 3 =72. zadanie nr 2 Wyznacz kilka poczatkowych wyrazoe ciagu geometrycznego w ktorym roznica miedzy wyrazem trzeciim i pierwszym=9 a roznica miedzy piaatym wyrazem i trzecim wyrazem wynosi36. Tyle na razie . Tez dostalem od kolegi te zadania >

Piotr 10: OK. W tym tygodniu rozwiąże te zadania, a później Logarytmy

5-latek:

bezendu: Mogę się przyłączyć? ZKS czy moje rozwiązanie zadania 2 jest ok?

ZKS: a + b + c + d = 26 ⇒ 2b + 2c = 26 ⇒ b + c = 13 ∧ a + d = 13 abcd = 880

	a + 13
a + c = 2b ⇒ a + 13 − b = 2b ⇒ b =
	3

b + d = 2c

	a + 13		26 − a
c = 13 − b ⇒ c = 13 −		=
	3		3

d = 13 − a

	a + 13		26 − a
a *		*		* (13 − a) = 880
	3		3

a(a + 13)(26 − a)(13 − a) = 7920 a⁴ − 26a³ − 169a² + 4394a − 7920 = 0 a⁴ + 169a² + 484 − 26a³ + 44a² − 572a − 382a² + 4966a − 8404 = 0 (a² − 13a + 22)² − 382(a² − 13a + 22) = 0 (a² − 13a + 22)(a² − 13a − 360) = 0 Dalej dokończyć.

ZKS: Tak ponieważ pokazałeś że różnica jest stała i równa. a₂ − a₁ = r a₃ − a₂ = r odejmując stronami otrzymujemy a₂ − a₁ − a₃ + a₂ = 0 2a₂ = a₁ + a₃. Zauważ że jest to samo.

ZKS: Tylko że nie napisałeś ile wynosi suma S_n tych wyrazów.

bezendu: chodziło mi tylko o to że jest arytmetyczny

ZKS: Tylko zapis troszkę kuleje. Powinieneś napisać co liczysz i wtedy jest ok. a² + x² − (a² + 2ax + x²) = r a² − 2ax + x² − a² − x² = r W ten sposób. Jeżeli pierwszy wynik jest zgodny z drugim to otrzymujesz że jest to ciąg arytmetyczny.

5-latek: A witaj [n[ZKS] ja juz musze wychodzic do pracy . Szef juz pewnie czeka jak wrocil z wczasow

bezendu: ok dzięki

ZKS: Witaj 5−latek. To miłej pracy życzę.

Piotr 10: Zadania od 5−latka Zadanie 1 Znaleźć cztery liczby tworzące ciąg geometryczny gdzie suma wyrazu 1 i 4 = 27 a iloczyn wyrazu 2 i 3 =72. Rozwiązanie: 1⁰ a₁+a₄=27 2⁰ a₂*a₃=72 1⁰ a₁+a₁*q³=27 2⁰ a₁*q*a₁*q²=72

	72
20 q3=		, gdzie a1≠0
	a12

Wstawiam teraz do równania 1⁰

	72
a1+a1*		=27
	a12

a²−27a+72=0 Δ=441 √Δ=21 a₁=24 v a₁=3 I przypadek, gdy a₁=24, to:

	72
q3=
	a12

	72
q3=
	576

	1
q3=
	8

	1
q=
	2

	1
a1=24 i q=		to:
	2

	1
a2=24*		=12
	2

a₃=6 a₄=3 II przypadek, gdy a₁=3

	72
q3=
	a12

	72
q3=
	9

q=2 a₁=3 oraz q=2 to: a₂=3*2=6 a₃=3*4=12 a₄=3*8=24 Odp: Są to liczby (a₁;a₂:a₃;a₄)=(24;12;6;3) v (a₁;a₂:a₃;a₄)=(3;6;12;24)

Piotr 10: Zadanie 2 Wyznacz kilka początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym różnica między wyrazem trzecim i pierwszym wynosi 9, a różnica między piątym wyrazem i trzecim wyrazem wynosi 36. Rozwiązanie: a₃ − a₁=9 a₅ − a₃=36 a₁q² − a₁=9 a₁q⁴ − a₁q²=36 a₁(q²−1)=9 a₁(q⁴−q²)=36 (a₁ skraca mi się) 36(q²−1)=9(q⁴−q²) 36q²−36=9q⁴−9q³ 4q²−4=q⁴−q² q⁴−5q²+4=0 Wprowadzam zmienną pomocniczą t: q²=t; q⁴=t² oraz t≥0 t²−5t+4=0 Δ=9 ; √Δ=3 t₁=4 v t₂=1 q=2 v q=−2 v q=1 v q=−1 I przypadek, gdy q=2 4a₁ − a₁=9 a₁=3 Wyznaczam kilka wyrazów tego ciągu:a₁=3; a₂=3*2=6 ; a₃=12; a₄=24 ; a₅=48 II przypadek gdy q=−2 a₁=3 Wyznaczam kilka wyrazów tego ciągu:a₁=3; a₂= −6; a₃=12; a₄= −24; a₅=48 III przypadek,gdy q=1 a₁*1 − a₁=9 0≠9 Jest to równanie sprzeczne, czyli brak rozwiązań. IV przypadek, gdy q=−1 a₁*(−1)²−a₁=9 0≠9 Jest to równanie sprzeczne, czyli brak rozwiązań.

Piotr 10: 5−latek jak możesz to sprawdź moje rozwiązania do zadań, które mi podałeś. Miałem je zrobić w inny dzień, ale miałem wolny czas.

5-latek: Piotr. Wyszlo mi tak samo Masz nastepne . zadanko ze zbioru ZAdania i testy z matematyki dla szkol srednich −Gdowski ,Plucinski (dostalem go od Krystek ) Suma n poczatkowych wyrazow ciagu arytmetycznego jest rowna polowie sumy n nastepnych wyrazow . Oblicz stosunek sumy 3n pierwszych wyrazow tego ciagu do sumy n poczatkowych wyrazow Zadanie nr 2. Dwa ciagi geometryczny i arytmetyczny maja rowne pierwsze wyrazy a₁=4 oraz rowne trzecie wyrazy. . Drugi wyraz ciagu arytmetycznego jest o dwa razy wiekszy od drugiego wyrazu ciagu geometrycznego . Znajdz te ciagi . Zadanie nr 3 . Cztery liczby 2,a,b,c, sa tak dobrane aby trzy pierwsze z nich tworzyly ciag arytmetyczny a trzy ostatnie ciag geometryczny . Suma wyrazow skrajnych jest dwa razy wieksza od sumy wyrazow srodkowych. . Znajdz te liczby Zrob te zadania po odpoczynku jednak . . Ja bede dalej uczyl sie geometrii>

Piotr 10: Ok to dobrze, że odpowiedzi się zgadzają . OK . Dziękuję za sprawdzenie

5-latek: Ciekawe byly?. Przydaly sie ?

Piotr 10: Ciekawe, zwłaszcza, że było kilka przypadków i trzeba było uważać, żeby nie ominąć któregoś z nich . Te co teraz podałeś, wydają mi się na pierwszy rzut oka trudniejsze

5-latek: Bo pewnie sa Piotrek . Uwazaj zwlaszcza w zadaniu nr 3

Piotr 10: 5−latek a masz jakieś zadania z ciągów tego typu,np. z dowodami https://matematykaszkolna.pl/strona/3927.html ?

5-latek: Piotrek znajde cos pozniej i wrzuce CI na forum . Moze juz w innym temacie

Piotr 10: OK. Jak zrobię te zadania to napisze moje rozwiązania . Pozdrawiam