Trygonometria Piotr 10:

	kπ
Wykaż, że jeżeli α≠		, gdzie k∊C, to
	2

1+cosα		1+cos2α		1
	*		=
sin2α		cosα		α   tg   2

Wyszło mi po odpowiednich przekształceniach, że lewa strona równa się:

	1+cosα
L=		Dobrze ta lewa strona jest przekształcona?
	sinα

Mila: Dobrze. Przekształcaj dalej lewą stronę.

ICSP: dobrze

Piotr 10: Okej, właśnie nie byłem pewien czy dobrze. Jak nie będę umiał sobie poradzić dalej to napisze

5-latek: https://matematykaszkolna.pl/forum/208659.html popatrz na post z 23.35 z 2 sierpnia

Piotr 10: Okej zaraz się zabiorę do dokończenia tego zadania, tylko odpocznę z 10 minut

Piotr 10:

1+cosα		1
	=
sinα		α   tg   2

1+cosα=2cos^2α₂

2cos2α2		cosα2
	=
sinα		sinα2

2cos^α₂sin^α₂=sinα sin2^α₂=sinα sinα=sinα Ls=Ps Wykonując ciąg równoważnych przekształceń dochodzę do wniosku, że lewa strona równa się prawej stronie. c.k.d Dobrze?

5-latek:

	x
Np wzor 1+cosx =2cos2		wyprowazdamy z tego ze
	2

cos0stpni =1 wiec 1+cosX mozemy zapisac tak cosx+cos0 teraz korzystajac z ewzoru na

	x+y		x−y
cosx+cosy=2cos		*cos		otrzymamy
	2		2

	x+0		x−0		x		x		x
cosx+cos0=2cos		*cos		=2cos		*cos		=2cos2
	2		2		2		2		2

Piotr 10: A ten drugi wzór podobnie się wyprowadza? Mój sposób rozwiązania jest poprawny?

5-latek:

	1
Piotr10 ale prawa strona nie rowna sie sinα tylko
	tgα/2

Piotr 10: Ja to skróciłem. Po lewej i prawej stronie mam cos^2α₂ i potem metodą na krzyż

5-latek:

	x+y		x−y
tak wyprowadzasz go podobnie tylko korzystaszze wzoru cosx−cosy=−2sin		sin
	2		2

Piotr 10: Ok. To jak w końcu dobrze zrobiłem zadanie czy nie?

5-latek:

	α   2cos2   2		1
Masz wykazac z e		=
	sinα		α   tg   2

Piotr 10: Ale wykazałem. Przecież można pomnożyć ''na krzyż'' i jak wyjdzie L=P ,to wyrażenie, które podałeś jest prawdziwe. Hmm

Mila: Można tak:

	1+cosα		α   α   1+cos2 −sin2   2   2
L=		=		=
	sinα		α   α   2sin cos   2   2

	α   2cos2   2
=		=
	α   α   2sin cos   2   2

	α   cos   2		α		1
=		=ctg		=		=P
	α   sin   2		2		α   tg   2

Piotr 10: Mila a mój sposób jest dobry czy nie?

Piotr 10: podbijam

5-latek: Mila juz Ci wpyprowadzila . Mnie nie bylo chwile bo musialem zagladnac do rodzicow

Piotr 10: Ale nie wiem czy dobrze zrobiłem czy nie. Przecież mam prawo wymnozyć to. Tak samo gdy mamy udowodnić, np 4a³+b³>3ab² to nie udowadniam lewej strony ze jest wieksza od 3ab² tylko mogę sobie na lewa stronę przezucić 3ab²

Mila: 20:10 1,2,3 linijka w porządku. I to już koniec przecież. Jest zasada, że aby uzasadnić tożsamość to przekształcamy lewą stronę do postaci prawej, albo odwrotnie. Tak mnie uczyli.

Piotr 10: OK, dziękuję za pomoc

Mila:

5-latek: Sprwdz jeszce raz swoj zapis czy dobrze zrobiles Pokaz jak to skrociles bo mnie sie to nie podoba .

5-latek: Mozesz rowniez tez przeksztalcac lewa strone rownania wiedzac ze

	x   2tg   2		x   1−tg2   2
sinx=		a cos x=		jest tutaj
	x   1+tg2   2		x   1+tg2   2

	1+cosx
wyrazony sinx i cosx przez tangens polowy kata i teraz podstawiajac do
	sinx

	1
udowowdnic ze to rowna sie
	x   tg   2

Piotr 10: Post godzina 20:10

1+cosα		cosα2
	=
sinα		sinα2

2cos2α2		cosα2
	=
sinα		sinα2

2cos^2α₂sin^α₂=sinαcos^α₂ 2cos^α₂sin^α₂=sinα sin2^α₂=sinα sinα=sinα Tak to zrobiłem 5−latek możesz sprawdzić? Bo ja już nie wiem gdzie problem tkwi

5-latek:

	x
Piotr, jest dobrze . Skrociles to przez cos		i wlasciwie w tym momencie gdzie napisales
	2

	x		x
2cos		*sin		=sinx mogles skonczyc bo to jest prawda. Ja jestem formalista w takich
	2		2

sprawach i dlatego brakowalo mi tego skrocilem przez cos x bo moze ktos tego nie rozumie Mozesz tez sprawdzajac tozszmosc porownywac iloczyn wyrazow skrajnych z iloczynem wyrazow

	1−cosx		sinx
srodkowych np w takiej		=
	sinx		1+cosx

Mozesz tez przenosic wyrazy z jednej strony na druga np zeby sprawdzic taka tozsamosc sin²x−sin²y=cos²y−cos²x Jednak tak jak napisala Mila −pozdrawiam i starac sie przeksztalcac lewa strone do postaci prawej lub odwrotnie . Nie wien czy tez jest w tablicach np jeszce taki wzor opr ocz sinx i cos x przez tg polowy kata

	x   2tg   2
a mianowicie tgx=
	1−tg2{x}{2}

5-latek: No to w ramach treningu sprawdz tozsamosc

tg2x+sin2x
	=2tg2x
cos2x

Piotr 10: W tablicach nie ma tego wzorku, nawet nie ma wzoru na 1+cosα. Tylko bodajże 8 wzorów podstawowych.Te zadanie z tożsamością starać się lewą stronę do postaci prawej strony przekształcić? Tylko jak nie będę umiał to mogę sobie metodą ''na krzyż''

5-latek: Piotr no wlasie postaraj sie metoda na przeksztalcenie

	sin2x
Przeksztalcaj lewa strone rpwnosci korzystajac z tego z e tg2x=		i dalej probuj
	cos2x

Piotr 10: Ok. Wiem, wiem że trzeba użyć tego wzorku. Jeszcze w szkole nie miałem wzorów na funkcje sumy i różnicy kątów(teraz w III kl. będę je miał), ale już je ogarniam . Dzięki 5−latek za pomoc . Później umieszczę rozwiązanie tej tożsamości

5-latek: No to w ramach przypomnienia poprzedniej tozsamosci sprawdz taka

1		x
	+ctgx=ctg		tez postaraj sie doprawdzic leewa strone do prawej
sinx		2

ICSP: a ja mogę ?

5-latek: Wiesz co do wzorow to jeszce moga sie przydac takie chociaz nie wiem czy teraz ich sie uzywa.

	sinx		√1−cos2x
To chyba podstawa ze tgx=		i tgx=
	√1−sin2x		cosx

	tgx		1
takze sinx=		a takze cosx=		masz tu wyrazony sinx i cos x
	√1+tg2x		√1+tg2x

przez tg x Chocia funkcja ctg jest wypierana z programu to napisze CI takze sinx i cosx wyrazana przrz ctg x

	1		ctgx
a mianowicie sinx=		i cos x=
	√1+ctg2x		√1+ctg2x

	sinx
Moze tez w ramach terningu korzystajac z tego ze tgx=		wyprowadzic wzor na
	√1−sin2x

	tgx
sinx w wyrazony przez tg x czyli sinx=
	√1+tg2x

5-latek: ICSP oczywiscie ze mozesz

ICSP:

	x
dla sin		≠ 0 mam L
	2

	1		1 + cosx
L =		+ ctgx =		=
	sinx		sinx

x   x   1 + cos2 − sin2   2   2
	=
x   x   2sin cos   2   2

	x   2cos2   2		x   cos   2		x
=		=		= ctg		= P
	x   x   2sin cos   2   2		x   sin   2		2

c.n.d.

5-latek: I oczywiscie jest takze te wzory sa pradziwe dla wszystkich katow −nie tylko ostrych

ICSP: ten z cosx również dla wszystkich ?

5-latek: ICSP pewnie ze dobrze ale moze rozpisz to bardziej dokladnie zeby kazdy wiedzial skad

	x
sie co wzielo np to (moze uznasz to za blachostke ) ze w liczniku dostales 2cos2
	2

5-latek: No to na zachete ta z 12.13

	tg2x+sin2x		sin2x   +sin2x cos2x
L=		=		=po sprowadzeniu do wspolnego
	cosx		cos2x

	sin2x+sin2xcos2x
mianownika		= wylaczam sin2x przed nawias
	cos2xcos2x

	sin2x(1+cos2x)
		= jedynke zamieniam na sin2x+cos2x=1 a cos2x=cos2x−sin2xi
	cos2xcos2x

	sin2x(sin2x+cos2x+cos2x−sin2x)
mam		= moze juz dalej sam zrobisz
	cos2xcos2x

Piotr 10: 5−latek 3 linijka pod postem ICSP

Piotr 10: Skąd się wzięło 1+cos² x/2−sin² x/2 ?jaki to wzorek? Bo żeby otrzymać 2cos² x/2 to inaczej mi pokazywałeś

5-latek: Chodzi CI o wyjasnienie dlaczego tak jest w poscie [C[ICSP] ? Mamy tak cos2x=cos²x−sin²x gdzie kat 2x jest katem podwojnym zwgledem kata x

	x
natomiast jesli przyjmienmy ze kat x jest katem podwojnym wzgledem kata		to mozemy
	2

	x		x
zapisac ze cosx=cos2		−sin2
	2		2

	x		x
tak samo jak cos2x+sin2x=1 tak samo cos2		+sin2		=1
	2		2

	x		x
TO samo bedzie dla sinx=2sin		cos		jesli przjmiesz ze kat x jest katem podwojnym
	2		2

	x
wzledem kata		. wiec teraz popdstawiaj sobie to do tej tozsamosci
	2

	x
Bedziesz mial tez drugi sposob na wyprowadzienie tego ze 1+cos x=2cos2
	2

Piotr 10: OK. Już rozumiem wszystko , dzięki jeszcze raz

5-latek: i postaraj sie skonczyc ta druga tozsamosc