Aksjomat bezendu: Udowodni, że dla dowolnych liczb a i b prawdziwa jest nierówność a²+b²+4≥2(a+b−ab) a²+b²+4≥2a+2b−2ab a²+b²+4−2a−2b+2ab≥0 a²−2a+b²−2b+4+2ab≥0 a(a−2)+b(b−2)+2(2+ab)≥0 co dalej z tym ? o ile to jest prawidłowe ?

Trivial: a² + b² + 4 ≥ 2(a+b−ab) (a² + 2ab + b²) − 2(a+b) + 4 ≥ 0 (a+b)² − 2(a+b) + 4 ≥ 0 (a+b − 1)² + 3 ≥ 0 OK.

bezendu: Dzięki

Trivial: bezendu, piszesz maturę za rok?

bezendu: tak

Trivial: a zdecydowałeś już na jakie studia się wybierasz?

Dominik: a² + b² + 4 ≥ 2(a + b − ab) a² + b² + 2ab − 2(a + b) + 4 ≥ 0 a + b = t t² − 2t + 4 ≥ 0 t² − 2t + 1 + 3 ≥ 0 (t − 1)² + 3 ≥ 0

Dominik: oj, spoznilem sie, wypadlem z formy.

Trivial:

bezendu: Tak, zdecydowałem ale jeszcze uczelni nie wybrałem

Trivial: wow. widzę że tylko ja decydowałem w ostatniej chwili.

bezendu:

bezendu: Dominik przerabiałeś to ? http://nowamatura.edu.pl/index.php?id=ksiazki_mat

Dominik: ja prawde mowiac cale liceum chcialem isc na finanse. niestety w moim zyciu troche sie poprzewracalo i takie studia nie bylyby dla mnie korzystne, wiec przypomnialem sobie moja dawna milosc − informatyke. i w sumie moze i lepiej, te studia sa zdecydowanie ciekawsze. a w sumie moglbym zlozyc pamiery na miedzykierunkowe ekonomiczno−matematyczne na UW i walczyc o dwa dyplomy.

Dominik: papiery*

Dominik: przerobilem tylko kielbase i arkusze maturalne od pazdro (niebieskie).

Dominik: kupilem jeszcze czerwony aksjomat, ale nawet nie otworzylem.

Trivial: Dominik, ja mam wrażenie, że finanse to tylko zimna kalkulacja.

bezendu: @Dominik Ty do wszystkich zadań typu wykaż wprowadzasz pomocniczą t ?

Trivial: bezendu, zmienne pomocnicze są fajne. Ja też się zastanawiałem czy nie wprowadzić.

bezendu: Trivial właśnie zauważyłem, że bardzo upraszczają rozwiązanie

Dominik: zazwyczaj nie wprowadzam, takie rzeczy sie widzi bez problemu jak sie zaznajomi z roznymi trikami. w poscie umiescilem, zebys na pewno zrozumial. Trivial, i pewnie masz racje. na finanse chcialem isc, bo zamierzalem isc w biznes rodzinny; niestety, zostalem osierocony.

Trivial: Dominik, przykro mi z tego powodu. Mam nadzieję, że polubisz informatykę.

Trivial: Dominik, chcesz jakieś zadanko z programowania?

bezendu: @Dominik jakie tricki masz na myśli mam nadzieję, że kiedyś tu je zaprezentujesz na forum

Dominik: dzieki Trivial, takie slowa, choc proste, wiele znacza. informatyke w sumie od zawsze kochalem, choc taka to milosc, ze o materiale z zakresu studiow niewiele wiem. ale od podstawowki smigam na linuksie, drobna zajawka. za zadanie skromnie podziekuje, porobilem troche spoja i uwazam, ze czas na chocby miesiac wakacji.

Dominik: te triki to nic skomplikowanego, bo w zasadzie kiepski jestem − zadnej nierownosci z poziomu OMa nie rusze (gadajcie z Vaxem ). cala sztuka w szkole sredniej polega na zauwazeniu wzorow skroconego mnozenia, ot co.

bezendu:

Trivial: bezendu, masz zadanko na ćwiczenie "trików": Rozwiąż układ równań a³ + 15ab² = −2 3a²b + 5b³ = 1

	1		1
Rozwiązanie: (a,b) = (−		,		).
	2		2

bezendu: tylko ja tu nie widzę tego triku

Dominik: przypomina wzorek (a + b)³, choc nie moge nic wymyslic. dawaj Trivial wskazowke!

Trivial: Wskazówka: sprawdzić, że a = 0 nie rozwiązuje układu równań i dokonać podstawienia b = a*u.

bezendu: Niech a i b będą liczbami całkowitymi. Udowodnij że: M=(a+b)⁴−2(a²+b²)(a+b)²+2(a⁴+b⁴) jest kwadratem liczby naturalnej a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴−2(a³+a²b+ab²+b³)+2a⁴+2b⁴= a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴−2a³−2a²b−2ab²−2b³+2a⁴+2b⁴= 4a³b+6a²b²+4ab³−2a³−2a²b−2ab²−2b³ 3a⁴+3b⁴+2ab(2a²+3ab+2b²)−2a²(a−b)−2b²(a−b)= jak dalej to zrobić ? Trivial Twoje zadanie mnie przerosło

ZKS: Zgodnie z uwagą którą zamieścił Trivial. Jeżeli nikt nie robi to sobie zrobiłem. Przepraszam za wtrącenie się i proszę o ułaskawienie. Po dodaniu stronami otrzymujemy a³ + 15ab² + 3a²b + 5b³ = −(3a²b + 5b³)

	1
a3 + 15ab2 + 6a2b + 10b3 = 0 / *		≠ 0 (zauważamy że b = 0 nie spełnia równania).
	b3

a3		a		a2
	+ 15		+ 6		+ 10 = 0
b3		b		b2

a
	= t
b

t³ + 6t² + 15t + 10 = 0 t³ + 1 + 6t² + 15t + 9 = 0 (t + 1)(t² − t + 1) + (t + 1)(6t + 9) = 0 (t + 1)(t² + 5t + 10) = 0

a
	= 1 ⇒ a = b
b

Podstawiam do drugiego równania i otrzymuję 3a³ + 5a³ = 1

	1		1		1
a3 =		⇒ a =		∧ b =		.
	8		2		2

Trivial: ZKS, od kiedy t + 1 = 0 ⇔ t = 1?

Trivial: A tutaj moje rozwiązanie: https://matematykaszkolna.pl/forum/188512.html

ZKS: Heh przepraszam Trivial poniosła mnie fantazja wyobraźni.

ZKS: Co do Twojego bezendu zadania to zrobiłem w ten sposób. (a + b)⁴ − 2(a² + b²)(a + b)² + 2(a⁴ + b⁴) = (a + b)²[(a + b)² − 2a² − 2b²] + 2a⁴ + 2b⁴ = (a + b)²[−(a − b)²] + 2a⁴ + 2b⁴ = −(a² − b²)² + 2a⁴ + 2b⁴ = −a⁴ + 2a²b² − b⁴ + 2a⁴ + 2b⁴ = a⁴ + 2a²b² + b⁴ = (a² + b²)² Zatem liczba M jest kwadratem liczby naturalnej.