tozsamosc algebraiczna abc: Jak udowodnić, że √5 − 2 jest sześcianem liczby ^{√5 − 1}₂? Wiem, że było już tu takie zadanie, jednak nie mogę go znaleźć.

Beti:

	√5−1		(√5−1)3		5√5 − 15 + 3√5 − 1		8√5−16
(		)3 =		=		=		= √5−2
	2		8		8		8

cbdu

abc: dzięki za odp., jednak nie do końca o taki dowód mi chodziło; źle sformułowałem treść pytania; chodzi o to jak znaleźć takie w, że w³ = √5 − 2

Trivial: Można przewidzieć w jako kombinację liniową a + b√5 gdzie a,b − liczby wymierne. w³ = (a+b√5)³ = a³ + 3√5a²b + 15ab² + 5√5b³ = (a³+15ab²) + (3a²b + 5b³)√5 = √5 − 2

	⎧	a3+15ab2 = −2
	⎩	3a2b + 5b3 = 1

	b
Dokonujemy podstawienia b = a*u → u =		. a,b − wymierne ⇒ u − wymierne.
	a

	⎧	a3+15a3u2 = −2
	⎩	3a3u + 5a3u3 = 1

Dzielimy równania i mamy:

	1+15u2
		= −2
	3u+5u3

10u³ + 15u² + 6u + 1 = 0 Przewidujemy pierwiastek u = −1. 10 15 6 1 −1 10 5 1 0 (u+1)(10u²+5u+1) = 0 Δ < 0 Zatem u = −1, czyli b = −a. Podstawiamy do pierwszego równania: a³ + 15a³ = −2

	1
a3 = −
	8

	1
a = −
	2

Zatem:

	√5−1
w = a + b√5 =		.
	2

abc: już myślałem, że pozostanę z brakiem rozwiązania, a tu miłe zaskoczenie; dzięki serdeczne za klarowne wytłumaczenie; na to, że można tak elegancko rozwiązać ten układ wykorzystując kolejną zmienną nigdy bym nie wpadł