różniczka Agata: Jak sprawdzić czy funkcja f(x)=x +4lnx jest rosnąca w punkcie x₀=e?

PW: Rosnąca w punkcie?

Mila: Poczekaj chwilę, Trivial lepiej Ci odpowie.

Bogdan: Punkt to punkt, nic w nim nie może rosnąć ani maleć, ten punkt ma współrzędne (e, e+4), punkt może należeć do wykresy funkcji lub nie i tyle

Mila: PW, nie widziałam Twojego wpisu, miałam na myśli,że Trivial lepiej odpowie niż ja, bo nie wiem o co tutaj chodzi z tą różniczką. Nie chcę, abyś się obraził .

Agata: Może zapiszę całą treść: Sprawdź czy funkcja f jest rosnąca w x₀=e i wyznacz przyrost krańcowy(różniczkę ) w tym punkcie.

Mila: D=(0,∞)

	4
f'(x)=1+		i x>0
	x

	4
1+		>0 dla x∊D zatem f(x) jest rosnąca
	x

PW: Mila, nie jestem obraźliwy, a pojęcia różniczki też nie lubię. Różniczka to wyniczek odejmowanka?

Mila: No to czekamy na Triviala, Vizera, Godzia, są na bieżąco z tym materiałem.

Agata: O rany jak Wy nie lubicie to co ja mam powiedzieć dla mnie to jakaś czarna magia

Agata: Ok, może będą tak mili i mi pomogą

asdf: policz pierwszą pochodną i podstaw x₀, lub: polciz pierwszą pochodną, przyrównaj do zera i sprawdź wielomian

	4
1 +		= 0
	x

x + 4
	= 0, określ dziedzine i masz przedział gdzie rośnie, gdzie maleje.
x

Agata: Do tego zadania mam jeszcze dwa podpunkty 2. Wykorzystując różniczkę funkcji f w punkcie x₀ oblicz przybliżoną wartość funkcji w punkcie x₁=3 (można przyjąć że Δx=0,27) 3. Wyznaczyć elastyczność w x₀ i zinterpretować uzyskany wynik. Korzystając z tej elastyczności wyznacz przybliżoną wartość f(3). Wierzę, że znajdzie się osoba, która lubi różniczki i pomoże mi to rozwiązać

Mila: Agatko, nie pamiętam, lubię wszystko w matematyce. Nie chcę Cię w sposób nieświadomy wprowadzić w błąd. Poszukam przykładu.

asdf: http://www.moskat.pl/szkola/matematyka/b_pochodna.php

Mila: https://matematykaszkolna.pl/forum/204890.html

Agata: Ale trzeba to ograniczyć dziedziną funkcji f czyli D=(0,∞), więc ten przedział (−∞,−4) odrzucamy, dobrze myślę?

Agata: Mila, widziałam już ten przykład, bo zawsze w pierwszej kolejności staram się przeszukać forum, żeby nie powtarzać się z zadaniami, ale niestety w tym przypadku nie umiem sobie poradzić z tymi wzorami, nie wiem jak je zastosować.

Mila: Rozważasz w dziedzinie, zobacz pod wskazany adres, tam podany link do różniczek. ASDF, to nie o to chodzi, podałam dobry adres, tam jest podany link do materiałów.

asdf: ale nie interesuje Cie przedział (− ∞;−4) tylko w punkcie x₀ = e musisz zobaczyć jak pochoda wygląda: podstaw e za x:

e+4		4
	= 1+		, e = 2.73 − funkcja rosnie w otoczeniu punktu e
e		e

asdf: Wyslałem linka przedstawiającego interpretacje pochodnej w punkcie − przeciez o to chodzi w tym zadaniu

Agata: Ok już rozumiem, bo nie wiedziałam co mam z tym e zrobić. Dziękuję

Agata:

	f(x−Δx)−f(x)
a w tym 2 podpunkcie to trzeba policzyć z tego wzoru lim(x→0)		?
	Δx

Agata: Nikt nie ma pomysłu na te dwa kolejne podpunkty? 2. Wykorzystując różniczkę funkcji f w punkcie x₀ oblicz przybliżoną wartość funkcji w punkcie x₁=3 (można przyjąć że Δx=0,27) 3. Wyznaczyć elastyczność w x₀ i zinterpretować uzyskany wynik. Korzystając z tej elastyczności wyznacz przybliżoną wartość f(3).

Vizer: Jako, że zostałem poproszony o głos w tym zadaniu to postaram się co nieco napisać. Po pierwsze stwierdzenie − monotoniczność w punkcie − jest źle sformułowane, nie można mówić o tym czy funkcja rośnie/maleje badając tylko punkt, rozumiem w pewnym otoczeniu, na przedziale, ale nie w punkcie. Zresztą to zostało zauważone przez forumowiczów wyżej. A jeśli chodzi o drugie zagadnienie to nie mam pojęcia co może się kryć przy wyrażeniu "przyrost krańcowy" A tak po za tym to witam Wszystkich

Vizer: 2. Powinnaś znać wzór na przybliżenie funkcji przy pomocy różniczki : f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀)Δx x₀ = 3 Δx = 0,27

	4
f'(x) = 1 +
	x

f(3,27) = f(3) + f'(3) * 0,27

	4
f(3,27) = 3 + 4ln3 + (1 +		) * 0,27) = ...
	3

Agata: Witam Niestety to nie ja układałam te zadania i nie odważę się zwrócić uwagę, że jest błąd w sformułowaniu pytania

Vizer: Możliwe, ze taki skrót myślowy oznacza pewien przedział otwarty (otoczenie) punktu, ale przyznam się szczerze, że nie spotkałem się z takim zapisem, wtedy rozwiązanie asdf jest prawidłowe

Agata: Po sformułowaniu "przyrost krańcowy" zapisane jest (różniczka) wiec to pewnie równoważne

Agata: Przepraszam że Was tak męczę ale może wiesz jeszcze o co chodzi z tą elastyczność w x₀

Vizer: Różniczka w punkcie:

	4
def(x) = f'(e) dx = (1 +		)dx
	e

Taka jest definicja i tego bym się trzymał. A co do eleatyczności to chyba na wszystkie pytania odpowie ten pdf −> http://www.mm.pl/~mmiszczynski/index/WSEH/Matematyka/Rozniczka_elast_tempo.pdf

b.: Dodam może, że z tego, że w jakimś punkcie x₀ pochodna jest dodatnia: f'(x₀)>0, nie wynika, że funkcja f jest rosnąca w pewnym otoczeniu x₀. [post asdf z 14 czerwca, 22:54 błędnie sugeruje, że wynika] Nawet przy dodatkowym założeniu, że f jest wszędzie różniczkowalna, z tego, że f'(x₀)>0 nie wynika, że na pewnym otoczeniu (x₀−δ,x₀+δ) funkcja f jest rosnąca.

b.: Prawdą jest natomiast, że jeśli f'(x₀)>0, to dla x z pewnego otoczenia (x0−δ,x0+δ) zachodzi f(x)>f(x₀), gdy x>x₀, oraz f(x)<f(x₀), gdy x<x₀, tzn. blisko na lewo od x₀ są wartości mniejsze, a na prawo −− większe.