topologia Marta: prosze o pomoc w zadaniu : Udowodnić, że |(d(x,A)−d(y,A)|≤ϱ(x,y) gdzie d(x,A) oznacza odległość punktu x od zbioru A.

Godzio: Podaj całe polecenie

asdf: pewnie o to chodziło: https://matematykaszkolna.pl/forum/205995.html

asdf: to jest chyba Twierdzenie Banacha.

Marta: niech ( X , ϱ )będzie przestrzenią metryczną i ∅ ≠ A ⊂ X. Udowodnić, że |(d(x,A)−d(y,A)|≤ϱ(x,y) gdzie d(x,A) oznacza odległość punktu x od zbioru A.

Marta: tak właśnie o to chodzilo

Marta: ale o ile się nie mylę, tw. Banacha dotyczy przestrzeni metrycznych zupełnych a to jest w zwykłej przestrzeni metrycznej. Nie wiem czy to coś zmienia...

Godzio: Może warto zacząć od tego: d(x,A) ≤ d(x,y) + d(y,A)

Godzio: d(x,A) = inf{d(x,a) : a ∊ A} ≤ d(x,a) ≤ d(x,y) + d(y,a) To skoro taka nierówność zachodzi dla dowolnego "a", to w szczególności dla inf d(x,A) ≤ d(x,y) + inf{d(y,a) : a ∊ A} = d(x,y) + d(y,A)