planimetria Ola: Bardzo proszę o pomoc w tych zadaniach 1) Wierzchołki trójkąta mają współrządne A=(4,−1) ; B=(2,3) ; C=(1.2). Wykaż, że trójkąt jest prostokątny. Wyznacz równanie okręgu opisanego na tym trójkącie. 2) Określ położenie okręgów o równaniach (x=3)² + (y−5)² = 25 oraz x² − 2x + y² − 6y − 3 = 0 3) W trójkąt równoramienny o podstawie 10 i ramieniu 13 wpisano okrąg. Oblicz promień tego okręgu. 4) Trójkąt ABC jest trójkątem równoramiennym ostrokątnym, punkt O jest środkiem okręgu opisanego na tym trójkącie o podstawie 4 i wysokości 5. Oblicz promień tego okręgu 5) Dane są punkty A= (−2,3) ; B= (6, −9). Wyznacz współrzędne punktu P, który dzieli odcinek AB w stosunku 3:2

Janek191: z.1 A = ( 4; − 1), B = ( 2; 3), C = ( 1; 2) zatem I AB I = √ ( 2 − 4)² + ( 3 − (−1))² = √4 + 16 = √20 = √4*5 = 2 √5 I BC I = √ ( 1 − 2)² + ( 2 − 3)² = √ 1 + 1 = √2 I AC I = √ (1 − 4)² + ( 2 − (−1))² = √9 + 9 = √9*2 = 3 √2 √2 < 3 √2 < 2 √5 Sprawdzam, czy I BC I² + I AC I² = I AB I² ( √2)² + ( 3 √2)² = 2 + 9*2 = 20 = ( 2 √5)² = 4*5 Tak, trójkąt ABC jest prostokątny. r = 0,5 c = 0,5 * I AB I = 0,5* 2 √5 = √5 − długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie. r² = 5 S − środek okręgu S − środek odcinka AB więc

	4+ 2		− 1 + 3
xs =		= 3 ys =		= 1
	2		2

S = ( 3; 1) Równanie okręgu : ( x − x_s)² + ( y − y_s)² = r² czyli ( x − 3)² + ( y − 1)² = 5 ===================

Janek191: z.2 ( x + 3)² + ( y − 5)² = 25 = 5² więc S₁ = ( − 3; 5) oraz r₁ = 5 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− x² −2 x + y² − 6 y − 3 = 0 ( x − 1)² − 1 + ( y − 3)² − 9 − 3 = 0 ( x − 1 )² + ( y − 3)² = 13 = ( √13)² więc S₂ = ( 1 ; 3) oraz r₂ = √13 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− I S₁ S₂ I = √ ( 1 − (−3))² + ( 3 − 5)² = √ 16 + 4 = √20 = √4*5 = 2 √5 ≈ 4,47 zatem r₁ + r₂ = 5 + √13 ≈ 5 + 3,6 = 8,6 > I S₁ S₂ I r₁ − r₂ = 5 − √13 ≈ 5 − 3,6 = 1,4 < I S₁ S 2 I Mamy r₁ − r₂ < I S₁ S₂ I < r₁ + r₂ więc dane okręgi się przecinają. ============================

Janek191: a = I AB I = 10 b = c = I AC I = I BC I = 13 Obliczam wysokość Δ ABC Z tw. Pitagorasa mamy h² + ( 0,5 a)² = b² h² = b² − ( 0,5 a)² = 13² − 5² = 169 − 25 = 144 h = √144 = 12 Obliczam pole Δ ABC P = 0,5 a*h = 0,5*10* 12 = 60 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Obliczam obwód Δ ABC L = a + 2 b = 10 + 2*13 = 36 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− Korzystam z wzoru na pole trójkąta P = 0,5 L*r , gdzie r − długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt więc 2 P = L* r

	2 P		2*60		2*10		10		1
r =		=		=		=		= 3
	L		36		6		3		3

	1
Odp. r = 3
	3

===============

Janek191: z.4 a = I AB I = 4 b = c = I AC I = I BC I h = 5 − wysokość O − środek okręgu opisanego na Δ ABC Obliczam pole Δ ABC P = 0,5 a*h = 0,5 *4*5 = 10 −−−−−−−−−−−−−−−−−−− Z tw. Pitagorasa mamy ( h − R)² + ( 0,5 a)² = R² ( 5 − R)² + 2² = R² 25 − 10 R + R² + 4 = R² 10 R = 29 R = 2,9 ======= II sposób: Obliczam długość ramienia Δ ABC b² = ( 0,5 a)² + h² = 2² + 5² = 29 b = √29 Korzystam z wzoru:

	a*b*c
P =
	4 R

−−−−−−−−−−−−− 4 P * R = a*b*c

	a*b*c
R =
	4 P

więc

	4*√29*√29		29
R =		=		= 2,9
	4*10		10

=====================================

Janek191: z.5 A = ( − 2; 3) B = ( 6; − 9) P = ( x; y) k = 3 : 2 → AB = [ 6 − (−2); − 9 − 3 ] = [ 8; − 12 ] → A P = [ x − (−2) ; y − 3 ] = [ x + 2; y − 3 ] Mamy być → →

	3
AP =		AB
	5

	3
[ x + 2 ; y − 3 ] =		*[ 8 ; − 12 ]
	5

	24		36
[ x + 2 ; y − 3 ] = [		; −		]
	5		5

więc

	24		36
x + 2 =		y − 3 = −
	5		5

	24		10		14
x =		−		=		= 2,8
	5		5		5

	36		15		21
y = −		+		= −		= − 4,2
	5		5		5

Odp. P = ( 2, 8 ; − 4,2 ) ====================

5-latek : https://matematykaszkolna.pl/forum/205325.html czego tam nie zrozumialas ze piszesz dwa razy to samo ?