NAUKA BARTEK: Kto pouczy się ze mną trygonometrii z uwzględnieniem pól trójkątów? Proszę Ja będę podawał zadanie i wspólnie albo wy tylko wskażecie jak. Zad 1

	12
W trójkącie prostokątnym cosinus jednego z kątów jest równy		,a promień okręgu
	13

opisanego na tym trójkącie jest równy 13 cm. Oblicz pole tego trójkąta.

Basia: wskazówka: środek tego okręgu to środek przeciwprostokątnej

BARTEK: tak.

	12		x
cosα =		=
	13		26

x=24 a²=169−144 a=5

	1
P=		ax
	2

P=12*5 P=60 cm² W książce jest napisane że powinno być 120 cm²

Basia: błąd w tw.Pitagorasa a² = 26² − 24²

BARTEK: Dzięki Basiu a=10

	1
P=		*24*10
	2

P=120 cm²

BARTEK: Zad 2.

	3
W trójkącie prostokątnym sinus jednego z kątów jest równy		. Promień okręgu wpisanego w
	5

ten trójkąt ma długość 7 cm. Oblicz pole tego trójkąta. ZAPRASZAM

Basia: x=a−r y=b−r x+y = c a−r+b−r=c a+b−c = 2r stąd masz a+b−c = 14 drugie równanie z sinusa trzecie z Pitagorasa no i układ

BARTEK: nie nie wiem jak to zroibc

BARTEK: MYŚLĘ i myślę i chyba nic już nie wymyśle

Basia:

	a
sinα=
	c

3		a
	=
5		c

3c = 5a

	5
c =		a
	3

	5
a+b+		a = 14 /*3
	3

3a + 3b + 5a = 42 8a + 3b = 42

	42−8a		8
b =		= 14 −		a
	3		3

a² + (14−⁸₃a)² = (⁵₃a)² dalej licz sam

BARTEK: Basia patrz na to a=3k, b=4k, c=5k 3k/5k=3/5=sinα r=7 r=(a+b−c)/2 7=(3k+4k−5k)/2 7=2k/2 7=k stad a=3*7=21, b=4*7=28, c=5*7=35 najdłuższy bo to przeciwprostokątna więc: P=1/2*21*28=294 cm²

BARTEK: Skąd u ciebie się wzięło :

	5
a+b+		a= 14
	3

Basia: pomyłka; minus ma być a+b−c = 2r a+b − ⁵₃c = 14

BARTEK: no wiedzielem !

BARTEK: juz to zrobilem sam!

BARTEK: Pole równa się 294

BARTEK: Dzięki Basia <3

BARTEK: Zad 3

	2
W Trójkącie prostokątnym o polu 12 cm2 tangens jednego z kątów ostrych jest równy		.
	3

Wyznacz wysokość poprowadzoną z wierzchołka kąta prostego. Podaj przybliżenie dziesiętne z dokładnością do 0,1 cm. ZAPRASZAM!

BARTEK:

	2c
a=
	3

	√13
b=
	3c

	1
P=		b*h
	2

	1		√13
12=
	2		3c*h

Co dalej ?

ZKS:

1		2		2x
	ab = 12 ∧ tg(α) =		=
2		3		3x

2x * 3x = 24 x² = 4 ⇒ x = 2 a = 4 ∧ b = 6 c = √4² + 6² = 2√13

	1
P =		hc
	2

1
	* 2√13 * h = 12
2

	12
h =
	√13

Teraz podaj przybliżenie swoje.

BARTEK: zrobilem to : Wynik to 3,3 cm

BARTEK:

	84
W trójkącie prostokątnym o polu 126,5 cm2 cosinus jednego z kątów jest równy		.
	85

Oblicz długość boków tego trójkąta.

Basia: b liczysz z tw.Pitagorasa b² = (85x)² − (84x)² = x²(85²−84²) = x²(85−84)(85+84) = 169x² b = 13x P = 84x*13x = 126,5 84*13*x² = 126,5 z tego wylicz x podstaw a = 84x b = 13x c = 85x i gotowe

Basia: sorry

	84x*13x
P =		= 126,5
	2

84*13x² = 253

BARTEK: Dzięki Basia w mojej szkole robimy innym sposobem chciałbym żebyście sprawdzili gdzie jest błąd proszę. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

	84		b		84
cosα =		=		⇒ b=		c
	85		c		85

a² = c²−b²

	84c 85
a2 = c2 −		2

	13
a =		c
	85

−−−−−−−−−−−−−−−−−Teraz próbuję obliczyć c:

	1
P=		a*b
	2

	1		13		84
136,5=		*		c*		c
	2		85		85

	136,5
c2=
	1092   14450

c²=1972425 c=1404,43049 Powinno być 5,3 cm, 42 cm 42,5 cm Co zrobiłem źle ?

Nienor: bo w zadaniu pisało 126,5 ma pole, a nie jak ty napisałeś 136,5

Nienor: Choć i tak nie wychodzi liczba wymierna.

BARTEK: Ja pisałem to zadanie Ma być pole równe 136,5 cm²

Nienor: W wyższych postach pisało co innego, zasugerowałam się tamtym. Po prostu twój kalkulator (albo i Ty ) nie umie liczyć

	136,5*14450		1972425
c2=		=		=1806,25
	1092		1092

c=√1806,25=42,5

BARTEK: Dobrze to zrobiłem tylko źle użyłem kalkulatora

	136,5
c2=
	1092   14450

c²=1806,25 c= 42,cm a= 6,5 cm b= 42 cm

BARTEK: Czy mój sposób liczenia jest pracochłonny ?

Nienor: Widziałam bardziej pracochłonne pomysły. O ile liczby znośne, lub masz kalkulator, to nie jest zły.

BARTEK: Przekątne czworokąta dzielą ten czworokąt na cztery trójkąty, Dane są pola trzech trójkątów (zobacz rysunek).Oblicz pole czwartego trójkąta. Zapraszam

BARTEK: Próbowałem zapisałem pól strony dziwnymi obliczeniami ale nic z tego. Potrzebuję pomocy.

BARTEK: −

krystek: Przeszukaj na forum w tym tyg było liczone. Wyprowadź wysokości!

krystek: _

BARTEK:

75		30
	=
45		x

75x=1350 x=18 Wynik jest dobry ale z jakiego to prawa , twierdzenia to wynika nie wiem. Ktoś wie dlaczego tak?

Nienor:

PΔADC		h1
	=
PΔABC		h2

Nienor:

PΔADO		h1
	=		, itp.
PΔAOB		h2

BARTEK: Nie rozumie jak to sie nazywa?

Nienor: Nazywa

BARTEK: z czego to wynika

Nienor: Te trójkąty mają wspólne podstawy, więc ich pola są proporcjonalne względem wysokości.

BARTEK: Dzięki zad 6. W trapezie ABCD, AB || DC, poprowadzono przekątne , które przecięły się w punkcie P. Wykaż ,że pola trójkątów BCP i APD są równe.

BARTEK:

	1
PΔ ADB =		|AD| * h
	2

	1
PΔ ACB =		|AD| * h
	2

PΔ ADB = PΔ ACB PΔ ADB = PΔ APB + PΔ APD PΔ ACB = PΔ BCP + PΔ APD PΔ APB + PΔ APD = PΔ BCP + PΔ APD / − PΔ APD PΔ APB = PΔ BCP

vitek1980: Popatrz na trójkąty ACD i BCD. Mają równe pole, ponieważ ich wspólną podstawą jest bok CD i oba mają wysokość równą wysokości trapezu. Teraz odcinamy ich wspólną część czyli trójkąt CPD. P_ADC=P_BCD P_ADC−P_CPD=P_BCD−P_CPD P_APD=P_BCP

BARTEK: Zad 7. W trapezie ABCD, AB || DC, poprowadzono przekątne , które przecięły się z punkcie E. Pola trójkątów ABE i BCE są odpowiednio równe 78 i 52. Oblicz pole trójkąta CDE.

BARTEK: PΔ ABE = 78 PΔ BCE = 52 PΔ ABC = PΔ ABE + PΔ BCE = 130

	1
PΔ ADB =		|AB| * h = PΔ ABC
	2

PΔ ADE = PΔ ABC − PΔ ABE = PΔ BCE

PΔ ADE		PΔ CDE
	=
PΔ ABE		PΔ BCE

	PΔ ADE * PΔ BCE
PΔ CDE =
	PΔ ABE

	52 * 52
PΔ CDE =
	78

	26* 52
PΔ CDE =
	39

	1352
PΔ CDE =
	39

	104
PΔ CDE =
	3

	2
PΔ CDE = 34
	3

ZROBIONE! W ciągu 2 dni jestem o niebo lepszy w rozwiązywaniu tych zadań!

BARTEK: Zad 8. W trapezie ABCD, AB || DC, przekątne przecinają się w punkcie E. Wiedząc ,że pola trójkątów ABE i CDE są odpowiednio równe 90 cm² i 40cm², oblicz pole trójkąta AED. Zapraszam!

Mila: A jakie Ty masz propozycje?

Mila: Wskazówka : 1) Stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa. 2) skorzystaj z rysunku Krystek (chodzi o wysokość) z gdoziny 13: 47. Jeśli masz odpowiedź, to będziesz wiedział, czy dobrze obliczyłeś.

BARTEK: Zabieram się do pracy dzięki za rady Krystek

BARTEK: Zabieram się do pracy dzięki za rady Krystek

BARTEK: PΔ ABE = 90 cm² PΔ CDE = 40 cm²

PΔ DAE		PΔ CDE
	=
PΔ ABE		PΔ BCE

	1
PΔ ABD =		|AB| * h = PΔ ABC
	2

PΔ DAE + PΔ ABE = PΔ BCE + PΔ ABE PΔ DAE = PΔ BCE

PΔ DAE		PΔ CDE
	=
PΔ ABE		PΔ DAE

PΔ DEA² = PΔ ABE * PΔ CDE PΔ DEA² = 90 cm² * 40 cm² PΔ DEA² = 3600 cm⁴ PΔ DEA = 60 cm²

BARTEK: Zad 9. Punkt E jest punktem przecięcia przekątnych trapezu ABCD, gdzie AB || DC. Pola trójkątów ABE i CDE są odpowiednio równe P₁ P₂ . Niech P oznacza pole trapezu ABCD. Wykaż ,że P=(P₁ + P₂)² Jak to zrobić zrobić ?!

5-latek : To moze zacznij od rysunku

BARTEK:

	1
P1 =		a * h
	2

	1
P2 =		a1 * h1
	2

a
	= k ⇒ a = a1 * k
a1

h
	= k ⇒ h = h1 * k
h1

	(a+b)h
WZÓR
	2

	(a+a1)(h+h1)
P=
	2

	(a1 * k+a1)(h1 * k+h1)
P=
	2

	a1( k+1)h1( k+1)
P=
	2

	a1 * h1	(k+1)2
P=
	2	2

	P1
P=P2 * (√		+1)
	P2

	P1		P1
P=P2* (		+2√		+P2
	P2		P2

P=P₁ +2 √P₁*P₂ + P2 P= (√P₁+√P₂)²

BARTEK: Trójkąty Δ CDS i Δ ABS są zawsze do siebie podobne jeżeli DE || AB ?

Mila: DC||AB , ΔDCS∼ΔABS cecha kkk ∡DSC=∡ASB jako kąty wierzchołkowe. ∡CAB=∡ACD jako kąty naprzemianległe wewnętrzne ∡ABD=∡BDC jako kąty naprzemianległe wewnętrzne

BARTEK: A no tak DZIĘKI MILA. Kurcze znam to forum od dawna i muszę przyznać ,że tą strona istnieje tylko dzięki grupie ok. 20 osób.Fajnie Może i ja kiedyś dostane kolorowy nick.

BARTEK: Ok dzisiaj pisałem sprawdzian i dostanę piątkę. Dzięki wszystkim za pomoc szczególnie Basi W środę piszę sprawdzian z trygonometrii ,więc... Trygonometria Zad 1. Oblicz wartości trygonometryczne dla kąta α.

BARTEK:

	b
sinα =
	c

	a
cosα =
	c

	b
tgα =
	a

	a
ctgα =
	b

krystek: ok

BARTEK: Dziękuje za sprawdzenie Zad 2. Korzystając z danych w trójkącie na rysunku poniżej, oblicz wysokość h z dokładnością do 0,1 cm.

krystek:

h
	=cos60
20

aniabb: a tabelka tu https://matematykaszkolna.pl/strona/397.html

BARTEK: Błąd Kąt 60 stopni sięga do przeciwprostokątnej 180 −(90+80)=10

	h
cos 50 =
	20

cos 50 * 20 = h 0,643 * 20 = h 12.86 cm = h

krystek: ≈12,9 jak masz podane w poleceniu.

	h
lub		=sin40
	20

BARTEK: Zad 3.Dziękuje Oblicz obwód trójkąta ABC na rysunku z dokładnością do 0,5 cm: h = 8 cm

	h
sin 80 =
	|AB|

	h
|AB| =
	sin 80

	8
|AB| =
	0,985

|AB| = 8,12=8 cm z Δ ADC

	h		|CD|
tg 42 =		cos 42 =
	|CD		|CA|

	h		|CD
|CD| =		|CA| =
	tg 42		cos 42

	8		7
|CD| =		|CA| =
	1,111		0,669

|CD| = 7,20 = 7 cm|CA| = 10,46 = 10.5 cm LΔ ABC = |AB| + |CA| + |CB| |CB| = |CD| − |BD| LΔ ABC =8 cm + 10,5 cm + 6 cm

	h
tg 80 =		LΔ ABC = 24,5 cm
	|BD|

	h
|BD| =
	tg 80

	8
|BD| =
	5,671

|BD| = 1,41= 1cm |CB| = 7 − 1 |CB| = 6 cm Dobrze ?

krystek: "rachunków " nie sprawdzam ,sposób ok

c[BARTEK]: Dzięki. Zad 4. Oblicz wszystkie wysokości na rysunku poniżej z dokładnością do 0,1 cm. Wysokości dorysowałem.

c[BARTEK]: |BC| = 10

c[BARTEK]: ∡BCA = 180 − (110+20) = 50

h
	=sin 50
|BC|

h = |BC| * sin 50 h = 10 * 0,766 h = 7,66 = 7,7 cm

h
	= sin 80
|BC|

h = |BC| * sin 80 h = 10 * 0,985 h = 9,85 = 10 cm

h
	=cos 70
|BA|

	h
|BA| =
	cos 70

h
	= sin 80
|BA|

h = |BA| * sin 80

	h
h =		* sin 80
	cos 70

	7,7
h =		* 0,985
	0,342

h = 22.1769005848 = 22.2 cm Z dnia na dzień czuję się mądrzejszy.

Mila: Załóż nowy wątek, bo długo się przewija.

BARTEK:

BARTEK: zad 5. Wykorzystując dane z rysunku powyżej : a) 1 + * sinα * cosα b)(tgα * cosα + ctgα * sinα)²

BARTEK: Może to ktoś zrobić bo cały czas wychodzą mi inne wyniki ?

BARTEK: Czy ktoś na tym forum wgl jest?

Nienor: Ale co z tym zrobić, obliczyć wartości

	2		4		8		2
a=1*		*		=		=
	√16+4		√16+4		20		5

	1		2		3		9
b=(sinα+cosα)2=(		+		)2=(		)2=
	√5		√5		√5		5

BARTEK: Dzięki

Mila: https://matematykaszkolna.pl/forum/205568.html