rząd macierzy maniek: Krzysiek Jak wyznaczyć rząd macierzy dla przykładu: |5 p 5 p| |1 1 1 1| |p p 2 2|

Krzysiek: http://pl.wikipedia.org/wiki/Metoda_eliminacji_Gaussa rozważasz przypadki ile wynosi rząd dla jakichś 'p' albo liczysz minory

maniek: a czy ta eliminacja gaussa to jest określony schemat? bo w przykładzie tylko to odejmowanie i zamiana wierszami. mógłbyś pokrótce napisać, o co dokładnie chodzi ?

maniek: mógłbyś pokazać jak to miałoby wyglądać ?

Krzysiek: np. zamiana wiersza drugiego z pierwszym następnie: w₂: w₂−5*w₁ (do wiersza drugiego dodajesz −5*wiersz pierwszy) przypadek 1. patrzysz co się dzieje dla p=0 , nie masz już parametru 'p' więc tak jak w linku na wiki doprowadzasz do postaci schodkowej. teraz sprawdzasz co jest dla p≠0 w₃: w₃−p*w₁ a potem zerujesz drugą kolumnę.

maniek: czy na eliminacje Gaussa jest jakiś określony schemat? czy nie

Krzysiek: schemat jest (by napisać program) ale przecież nie trzeba koniecznie postępować wg schematu. np.zamiast w wierszu pierwszym podzielić przez 5( i mieć '1' ) możesz zauważyć że w wierszu drugim już jest '1' i wystarczy zamienić wiersze itd. po prostu liczysz aby było wygodnie.

maniek: a mógłbyś przedstawić ten schemat? |1 1 1 1| |5 p 5 p| |p p 2 2| |1 1 1 1 | |0 p − 5 0 p − 5| |p p 2 2 | i co dalej ?

Krzysiek: napisałem co dalej, rozważ dwa przypadki p=0, p≠0 masz doprowadzić macierz do postaci schodkowej: http://pl.wikipedia.org/wiki/Macierz_schodkowa zerujesz pierwszą kolumnę począwszy od drugiego weirsza następnie drugą kolumnę począwszy od 3 wiersza itd (oczywiście gdy element w wierszu jest zerowy to zamieniasz wiersze)

maniek: to zawsze rozpatrujemy takie dwa przypadki? 1. p = 0 |1 1 1 1| |0 −5 0 −5| |0 0 2 2| i jak to doprowadzić do postaci schodkowej rozumiem, że trzeba ustawić tak aby były zera pod przekątnymi, zgadza się ?

maniek: czy to może dla tego przypadku p = 0 jest już w postaci schodkowej? łatwiej byłoby gdyby macierz była kwadratowa, jeżeli macierz już jest w p. schodkowej to rzA = 3

maniek:

Krzysiek: rozpatrujesz takie przypadki ponieważ, nie możesz pomnożyć wiersza przez 0. a pierwszy wiersz musisz pomnożyć przez 'p' by w pierwszej kolumnie, trzecim wierszu wyzerować element.

maniek: ale gdy p = 0 to jak wyznaczyć ten rząd? bo tam trudno aby było pod przekątną

Krzysiek: dla p=0 to co wyżej napisałeś o 14.40 to już jest postać schodkowa widać,że rząd tej macierzy to 3.

maniek: o to mi chodziło chociaż tam dziwnie patrzy się na tę przekątną

maniek: O to chodziło ? |1 1 1 1 | |0 p − 5 0 p − 5| |0 0 2 − p 2 − p| i teraz co dalej ?

Krzysiek: co się dzieje np. dla p=2 ? a dla p=5?

maniek: nie wiem po co aż tyle przypadków musimy rozpatrywać, mógłbyś to jakoś wytłumaczyć po co to mnożenie "p * w1" dla p = 2 |1 1 1 1| |0 −3 0 −3| |0 0 0 0 | rzA = 2 [jest jakiś sposób na macierz 3x4 − na przekątną bo dziwnie to wygląda i nie jestem pewien czy poprawnie] dla p = 5 |1 1 1 1| |0 0 0 0| |0 0 −3 −3| tez rzA = 2 ?

Krzysiek: "po co to mnożenie "p * w1" " a w jaki inny sposób chciałeś wyzerować 'p' (w trzecim wierszu)? reszta ok.

maniek: właśnie nie wiem po co wyzerować, jeszcze tego nie widzę

Krzysiek: napisałem wcześniej, musisz wyzerować pierwszą kolumnę potem następne.

maniek: a mógłbyś podać jakiś swój przykład, abym mógł przećwiczyć ?

Krzysiek: poszukaj w internecie, może znajdziesz z rozwiązaniem. wtedy możesz sobie Sam rozwiązać a potem sprawdzić.

maniek: znalazłem coś takiego: przykład: |1 p 1| |3 0 2| |p −p 1| troszkę nad tym myślałem, i postępuje tak, że: 1) w₂ = w₂ + (−2) * w1 2) w₃ = w₃ − w₁ 3) w₃ = w₃ + w₂ Wykonane kroki 1) |1 p 1| |1 −2p 0| |p −p 1| 2) | 1 p 1| | 1 −2p 0| |p−1 −2p 0| 3) | 1 p 1| | 1 −2p 0| | p 0 0| a) p = 0 ⇒ rzA = 2 b) p > 0 ⇒ rzA = 3 ok ?

maniek:

Krzysiek: nie doprowadziłeś do postaci schodkowej... czemu od razu nie dałeś w₂: w₂−3w₁ ? wtedy wyzerujesz a o to właśnie chodzi. w₃ :w₃−p*w₁ dla p≠0, (wcześniej rozważasz przypadek p=0) po drugie tu jest macierz kwadratowa, więc lepiej/szybciej jest wyliczyć wyznacznik i sprawdzić dla jakich 'p' się zeruje.

maniek: jak nie doprowadziłem? pod przekątną 1 −2p p, to nie może być z dwóch stron ?

Krzysiek: chyba,że tak na to patrzysz..a) ok. b) a dla p<0 to co ?

maniek: dla p < 0 ⇒ rzA = 3 czyli dobrze jest ?

Krzysiek: czyli dla p≠0 rzaA=3.

maniek: na pewno dobrze ?

maniek: to znalazłem jeszcze jeden przykład chyba trudniejszy: |1 − p 2 1 p | | 1 2 − p 1 0 | | 1 2 1 − p p | to mój pomysł wyglądał tak: 1) w₁ <> w₂ [zamieniam wiersze] 2) k1 : k₁ + k₃ 3) w₃ : w₃ − w₂ 4) w₂ : w₂ − w1

	1
5) w2 : w2 + (		p)w1
	2

w praktyce: 1) | 1 2 − p 1 0 | |1 − p 2 1 p | | 1 2 1 − p p | 2) | 2 2 − p 1 0 | |2 − p 2 1 p | |2 − p 2 1 − p p | 3) | 2 2 − p 1 0 | |2 − p 2 1 p | | 0 0 −p 0 | 4) | 2 2 − p 1 0 | | − p p 0 p | | 0 0 −p 0 | 5) | 2 2 − p 1 0 |

	1		1
| 0 2p −		p2		p p |
	2		2

| 0 0 −p 0 | Chyba doprowadziłem do postaci schodkowej, ale nie wiem czy tak można tj.: z tymi potęgami? Przy założeniu na początku, że p ≠ 0 Zadanie wziąłem z tego tematu: 119009 I nie rozumiem tego jak Trivial to widział, rozwiązanie tego z godziny: 15:44

maniek:

Krzysiek: skoro p≠0, to możesz przecież podzielić drugi i trzeci wiersz przez 'p' jak dla mnie 1) krok ok, dalej nie rozumiem czemu tak robisz... jak masz współczynnik jeden to już nie ma co zmieniać bo łatwiej już byc nie może (więc nie wiem po co te dodawanie kolumn) od razu w₂:w₂−w₁ w₃:w₃−w₁ potem w₂:w₂+p*w₁ itd.

maniek: ale jak to podzielić ? mógłbyś to pokazać, bo nie rozumiem tego jak to podzielić przez p ale to znaczy, że moje rozwiązania jest całkowicie błędne ?

Krzysiek: podzielić wiersz przez 'p' czyli podzielić każdy element tego wiersza przez 'p' Twoje rozwiązanie nie jest błędne jeżeli dobrze pododawałeś/odejmowałeś elementy poprostu dziwnie rozwiązujesz.

maniek: tylko nie widzę po co mielibyśmy to dzielić przez p, nie widze tego, czy sie uprości

maniek: |1 − p 2 1 p | | 1 2 − p 1 0 | | 1 2 1 − p p | po podzieleniu mam: |1 − p 2 1 p |

	1		2		1
|				− 1		0 |
	p		p		p

	1		2		1
|						− 1 1 |
	p		p		p

i co dalej ?

Krzysiek: ale przecież podzielić 2 i 3 wiersz ale w macierzy do której doprowadziłeś a nie w początkowej...

maniek: | 2 2 − p 1 0 |

	3		1
| 0				1 |
	2		2

| 0 0 −1 0 | ok ?

Krzysiek: jeżeli dobrze liczyłeś to po podzieleniu a₂₂=2−1/2p

maniek: tak tak pomyłka i wychodzi, że nie jest zależny od parametru p ? i rząd dla p będzie rzA = 3 Trivialowi też tak wyszło tylko nie rozumiem jak on tak to łatwo zrobił

Krzysiek: no chyba widzisz że ten element jest zależny od p... rozwiązuj więcej przykładów bez parametrów to pewnie też szybko będziesz doprowadzał do postaci schodkowej...

maniek: inaczej: 1. p= 0 rzA = 1 2. p ≠ 0 rzA = 3 ok ?

Krzysiek: tak wyszło Trivialowi więc pewnie ok.

maniek: to przykład bez parametru znalazłem coś takiego: | 1 2 −1 1| | 2 4 −3 0| | 1 2 1 5| 1) w2 : w2 − 2w1 2) w3: w3 − w1 1) | 1 2 −1 1| | 0 0 −1 −2| | 1 2 1 5| 2) | 1 2 −1 1| | 0 0 −1 −2| | 0 0 2 4| wtedy rzA = 3 ? czy istnieje jakiś łatwiejszy sposób na określenie tego, gdy nie ma parametru ?

maniek: jeżeli to zrobiłem ok, to mógłbyś pokazać jak powiniem zrobić taki podpunkt tego: a) korzystając z el. gaussa sprowadź A do macierzy wierszowo zredukowanej

Krzysiek: to nie jest postać schodkowa

maniek: jak nie ? | 1 2 −1 1| | 0 0 −1 −2| | 0 0 2 4|

maniek: mógłbyś pokazać jak prawidłowo doprowadzić do postaci schodkowej ? według mnie to co pod przekątną − jak są zera to jest w postaci schodkowej

Krzysiek: a gdzie ty masz przekątną w macierzy niekwadratowej?wcześniej dałem link jak powinna wyglądać macierz schodkowa

maniek: no właśnie na wikipedii − wynikało chyba coś takiego, to jak to powinno być prawidłowo ?

Krzysiek: skoro w drugim wierszu 3 kolumnie jest niezerowy element to w 3 wierszy, 3 kolumnie nie może być niezerowy element...

maniek: czyli jak macierz jest wymiarów m x n to muszę tak jakby kilka przekątnych rozważać ?

Krzysiek: a jest coś takiego jak przekątna w macierzach niekwadratowych?

maniek: nie, chyba że o czymś nie wiem

maniek: mógłbyś pokazać jak to miałoby wyglądać ?

Krzysiek: musisz wyzerować a₃₃

maniek: ale zobacz na ten przykład wyżej z parametrem p, jak wymiar był 3 x 4 to tam w a₃₃ miałem −1, a nie 0 więc tamto też jest źle ?

maniek:

maniek:

Krzysiek: jeżeli piszesz o poście: 31 maj 2013 18:15 to tamta macierz jest doprowadzona do postaci schodkowej... przeczytaj dokładnie z wikipedii albo z Twoich notatek o maceirzy schodkowej

maniek: chodzi o to: "Macierz schodkowa – macierz, której pierwsze niezerowe elementy kolejnych niezerowych wierszy, znajdują się w coraz dalszych kolumnach, a powstałe wiersze zerowe umieszcza się jako ostatnie."

Krzysiek: tak

maniek: czytam to w kółko i nie widzę, dlaczego muszę ten przykład z godziny 18:43 [wyzerować a₃₃] przecież ten przykład jest podobny do tego z 18:15 mógłbyś to jakoś łatwo wytłumaczyć ?

maniek: Jeżeli dobrze zrozumiałem, to czyli w kolejnym wierszu nie może być koło siebie [pod przekątną] tyle samo zer? | 1 2 −1 1| | 0 0 −1 −2| | 0 0 2 4| tak jest źle ale gdyby było np.: | 1 2 −1 1| | 0 5 −1 −2| | 0 0 2 4| to byłoby ok ?

maniek: to jeżeli mam: | 1 2 −1 1| | 0 0 −1 −2| | 0 0 2 4| to teraz 3) k₃ : 2*k₃ − k₄ | 1 2 −3 1| | 0 0 −4 −2| | 0 0 0 4| teraz powinno być ok ?

maniek:

Krzysiek: w tamtej macierzy pierwsze niezerowe elementy (w kolejnych wierszach) są w 1,2,3 kolumnie a w tej macierzy tak nie jest pierwszy niezerowy element jest w 1 kolumnie w drugim wierszu już jest w 3 kolumnie , w 3 wierszu również jest w 3. a ma być w następnej kolumnie. zatem jak napisałeś gdyby była ta '5' to wtedy byłoby ok. co do ostatniego postu to źle. chyba chciałeś napisać: k₄:k₄−2k₃ ... co i tak źle jest policzone: "k3 : 2*k3 − k4"

maniek: no ale wyzerowłem a₃₃ więc dlaczego źle ?

Krzysiek: bo źle policzyłeś: "k3 : 2*k3 − k4" po drugie nawet jeżeli tak policzysz(poprawnie) to wiersz 4 powinien zostać bez zmian...?

maniek: jak źle policzone ? 2 * (−1) − 1 = −2 − 1 = −3 2 * (−1) − 2 = −2 − 2 = −4 2 * 2 − 4 = 4 − 4 = 0 mi się wydaje, że powinien pozostać bez zmian

Krzysiek: dobra teraz zauważyłem co jest źle, pisałeś "k3 : 2*k3 − k4" i ja pisałem tylko ja myślałem cały czas o wierszach.. bo tylko operacje na wierszach możesz wykonywać

maniek: dlaczego na wierszach? myślałem, że jak mogę korzystać z operacji elementarncyh to też na kolumnach?

Krzysiek: albo cały czas na wierszach albo cały czas na kolumnach

maniek: to wszędzie tak jest? że jeżeli wybieram wiersze to tylko na wieszach, a jak wybieram na kolumnach to tylko na kolumnach? pierwszy raz się z tym spotykam, skoro tylko na wierszach to jak to zrobić ?

Krzysiek: w₃:w₃−2w₂ i koniec zadania...

maniek: oh ja ślepy a mógłbyś rozwiać kolejny problem − z tymi kolumnami i wierszami ? czy to zawsze jak wybieram tylko kolumny albo wiersze to tylko na wybranym mogę operować?

Krzysiek: zależy co liczysz... jak rząd to operujesz na wierszach (możesz na kolumnach tylko wtedy inaczej musisz rozumieć tą macierz schodkową) jak wyznacznik to możesz operować i na wierszach i na kolumnach itd.

maniek: ok to już "chyba" rozumiem , dziekuje bardzo za poświęcony czas mógłbyś jeszcze zerknąć tutaj: 205194

Krzysiek: niestety nie pomogę bo nie wiem co oznacza że macierze są wierszowo równoważne

maniek: a jak obliczyć macierz odwrotną do A, korzystając tylko z operacji elem. A = | 1 0 0 1 | | 0 0 2 1 | | 0 1 1 1 | | 2 1 1 1 |

Krzysiek: w pierwszym linku w tym temacie jest napisane jak to zrobić.

maniek: a o co chodzi z macierzą blokową ?

Krzysiek: a o co ma chodzić? zapisujesz 2 macierze w jedną oddzielając je 'prostą' i za pomocą operacji elementarnych na wierszach masz macierz A doprowadzić do macierzy jednostkowej.