Pilne - studia, ekstrema funkcji wielu zmiennych Studentka: Witam, mam 5 zadań, z którymi nie potrafię sobie poradzić Jakby ktoś mógł chociaż 1 rozwiązać, to już bd baardzo wdzięczna 1) Na hiperboli X² − y² = 4 wyznacz punkt leżący najbliżej punktu (0,2) 2) Znajdź wymiary walca o największej objętości i takiego, że jego całkowita powierzchnia wynosi 6 π 3) Znajdź wymiary prostopadłościanu o największej objętości i podstawie kwadratowej, którego przekątna ma długość 8√2

	x2		y2
4) W elipsę		+		= 1 wpisano prostokąt o największym polu. Oblicz to pole.
	16		4

5) W elipsę x² + 3y² = 12 wpisać trójkąt równoramienny o podstawie równoległej do większej osi elipsy w ten sposób, żeby pole trójkąta było największe. − do tego zad mam jakąś odpowiedź, bo znalazłam identyczne zad w książce A(0,2) B(3,−1) C(−3, −1) Za każdą pomoc bd bardzo wdzięczna

Studentka: Bardzo proszę

Bogdan: x² − y² = 4 y = √x² − 4 (górne gałęzie hiperboli) lub y = −√x² − 4 (dolne gałęzie). Bierzemy y = √x² − 4 i szukamy punktu B lub C leżących najbliżej punktu A(0, 2), przy czym |AB| = |AC| = d, B = (x₀, y₀) = (x₀, √x₀² − 4) d = √(x₀ − 0)² + (y₀ − 2)² → minimum, Wstaw √x₀² − 4 w miejsce y₀, otrzymasz d(x₀), wyznacz pochodną d'(x₀) i na jej podstawie wyznacz minimum funkcji d(x₀), Powinno wyjść: x₀ = √5 i y₀ = 1 lub x₀ = −√5 i y₀ = 1

Bogdan: Zadanie 2.

	3 − r2
2πr2 + 2πrH = 6π ⇒ r2 + rH = 3 ⇒ H =		, r, H > 0
	r

V = πr²*H ⇒ V(r) = −πr³ + 3πr, V'(r) = −3πr² + 3π = −3π(r − 1)(r + 1) Funkcja V(r) osiąga maksimum dla r = 1.

Bogdan: Spróbuj następne zadania rozwiązać podobnie.

Studentka: Dziękuję Ci bardzo Jesteś genialny Analizuję zad 1 i kompletnie nie wiem jak obliczyć d'(x_o). Wychodzą mi takie rzeczy z kosmosu, które pierwszy raz na oczy widzę Mógłbyś mi wyjaśnić, jak to policzyć Za 2 się nawet jeszcze nie zabrałam Ale zaraz się zabiorę, może to mi bd lepiej szło W każdym razie dziękuję

Studentka: To 2 zrozumiałam Jakieś takie prostsze od tego 1

Studentka:

	8√2
Czy w 3 powinny wyjść tak kosmiczne liczby, jak √		(to wszystko jest pod
	3

pierwiastkiem) i √4√2−¹²⁸₁₈ (mianownik − 18, licznik − 128) A pozostałych nie umiem dalej

Mila: 3) (8√2)²=a²+a²+c² a) Oblicz c w zależności od a b) V=a²*c c) Oblicz V' otrzymasz równanie 3 stopnia d) oblicz miejsce zerowe pochodnej.

Mila: 4) narysuj elipsę a) wyznacz y w zależności od x b) (x,y) wierzchołek prostokąta c) P_▭=4*x*y d) oblicz pochodną Później pomogę

wiesiek 1254: pomogło bardzo

wiesiek 1254: ************************************************

Studentka: W 3 pochodna wyszła mi stopnia 2. A wydawało mi się, że jest ok. Z drugiej strony, jak próbuję znaleźć błąd, to nie widzę. No cóż. Nad 4 pracuję W każdym razie dziękuję

Mila: Jaką masz objętość w 3? V=a²*(?)

Studentka: 3) v = a² * b (wyznaczałam a², ponieważ wydawało mi się, że bd prościej, tzn nie trzeba bd

	8√2 − b2
stosować pierwiastków. Wyszło mi zatem : V(b) =		* b
	2

Studentka: W 4 wyszły mi jakby 2 funkcje. Z elipsy wyznaczyłam x: x = √4y² − 16 v x = − √4y² − 16.

	1		1
Natomiast pochodne to: (podstawiając 1 x) − P'(y) = 16 * y * (4y2 − 16)−		(ta −
	2		2

to w potędze) , (zaś 2) to wyszło mi to samo, tylko z przeciwnym znakiem.

Mila: 3) d=8√2 d²=p²+c² (8√2)²=a²+a²+c² 64*2=2a²+c² c²=128−2a² c=√128−2a² V(a)=a²*√128−2a²

	−4a		2a3
V'(a)=2a*√128−2a2+a2*		=2a√128−2a2−		⇔
	2√128−2a2		a2*√128−2a2

	2a(128−2a2)−2a3
V'(a)=
	√128−2a2

	256a−4a3−2a3
V'(a)=
	a2*√128−2a2

Teraz dokończ, wynik:sześcian

	8√6
a=c=
	3

Mila: 4)

x2		y2
	+		=1
16		4

y2		x2
	=1−		/*4
4		16

	x2
y2=4−
	4

	16−x2
y2=
	4

	√16−x2
y=
	2

	√16−x2
M=(x,		)
	2

	√16−x2
P▭=4x*y=x*
	2

P_▭=2x*√16−x²

	−2x
P'=2*√16−x2+2x*
	2√16−x2

dokończ i napisz wynik

Studentka: Te zadania mnie przerastają Np. w 3 kompletnie nie rozumiem 3 linijki. Tam, gdzie (8√2)² jest podstawione do wzoru objętości. Ale nie chcę Cię już męczyć bardziej

Studentka: Przepraszam, nie do objętości, nie wiem dlaczego cały czas tam znak mnożenia widziałam W każdym razie nie rozumiem

Mila: d²=p²+c² z tw. Pitagorasa, masz braki z LO. p − przekątna podstawy, czyli kwadratu o boku a p²=a²+a² p²=2a²

Studentka: Dobra, zrozumiałam Przepraszam za kłopot. Teraz znowu nie rozumiem pochodnej (też 3).

Mila: 3) pochodna iloczynu (f*g)'=f ' *g+f*g'

Studentka: Ok, już rozumiem. Przepraszam, ale siedzę już chyba 6 godzinę nad matmą i już nie wiem, jak się nazywam i wszystko mi się miesza

Mila: Wytrwałość popłaca, po kolacji pomogę, w razie potrzeby.

Studentka: Dziękuję Smacznego Jakby co to się odezwę

Studentka: 3 zad już mi wyszło A w 4 wyszło mi x=2√2, y=√2, czyli P=16. Jest dobrze, że znowu gdzieś błąd popełniłam?.

Mila: Dobrze 4, P=4*2√2*√2=16 Wymiary prostokąta:a= 2*2√2=4√2, b=2√2

Mila:

Studentka: Chociaż tyle Dziękuję Ci, naprawdę bardzo mi pomogłaś 1 i 5 sobie już chyba daruję, bo nie mam sumienia i tym jeszcze Ci głowę zawracać, jak i tak masz mnie już pewnie dosyć

Mila: Postaraj się 5 rozwiązać, to przecież elipsa. x² + 3y² = 12 /:12

x2		y2
	+		y2=1
12		4

x2		y2
	+		=1 postac kanoniczna
(2√3)2		22

3y²=12−x²

	1
y2=4−		x2
	3

y=√4−(1/3)x² lub y=−√4−(1/3)x² C=(0,2) B=(x,√4−(1/3)x²) lub y= −√4−(1/3)x²

	1
PΔ=2*		x*(2−√4−(1/3)x2)⇔P'(x)=0 dla x=0 nie odpowiada warunkom zadania
	2

P_Δ=x*(2+√4−(1/3)x²)

	2√36−3x2−2x2+12
P'=
	√36−3x2

P'(x)=0 ⇔x=3 lub x=−3 oblicz A=(−3,−√4−(1/3)*(−3)²=(−3,−√4−3=(−3,−1) B=(3,−1)

Studentka: Nie rozumiem tego pola w 5

Mila:

	1
Liczę pole Δ CDB Niebieskiego,		|CD|*|DB|
	2

CD=2+|y|, gdzie y to druga wsp. Punktu B, DB=x

Studentka: Nie rozumiem, jak obliczyłaś te odcinki CD i BD

Mila: W Twoim zadaniu x −wsp x−owa punktu B na elipsie ( właśnie ją chcemy policzyć) y=−√4−(1/3)x² dla obranej x Ale wysokość liczymy h=CD=2+|−√4−(1/3)x²|=2+√4−(1/3)x²

Licealista_Theosh: Sorka za spam. Milu jak możesz to mi to wytłumacz, bardzo proszę : 204110

Studentka: No i wreszcie zrozumiałam Dziękuję pięknie Jesteś wielka Nigdy bym na to nie wpadła Jak tak patrzę teraz to wydaje się proste

Mila: