Oblicz granicę ciągu: nolife15: Oblicz granicę ciągu: a_n=¹_n+1 +¹_n+2+...+¹_2n−1+¹_2n

Basia: korzystając z definicji całki Riemana i dzieląc przedział <0,1> na 2n równych odcinków dostaniesz:

	1
limn→+∞an = 1/2∫21dx = x|1/21 =
	2

to tylko wskazówka; trzeba to porządnie uzasadnić

Basia: to co wyżej to prawda, ale poważnie to wystarczy twierdzenie o trzech ciągach

Vizer: Basia żartowniś

Krzysiek: tylko,że ta granica nie zmierza do 1/2, też bym tą granicę obliczył korzystając z całki (tylko innej)

Basia: faktycznie masz rację; to nie ta całka;

nolife15: hmmm, Basia, twierdzenie o trzech ciągach: jeden może być ⁿ_2n, a ten drugi? bo nie mogę znaleźć żadnego innego, którego granica też wyjdzie 1/2...

Vizer: Wskazówka :

1		1
	≥
n+1		2n

Basia: owszem

1		1		1
	≥		≥ ............. ≥
n+1		n+2		2n

	1
n*		≤ an
	2n

a z drugiej strony ? to nie zadziała bo będzie

	1
an ≤ n*
	n+1

co niestety dąży do 1

AC: lim_n→∞ a_n = ln 2

Vizer: Fakt, myślałem że to ten typ zadania że się tak łatwo zrobi.

nolife15: AC, jak to policzyłeś/aś? tylko mam nadzieję, że żadnych całek przy tym nie użyłeś/aś?

AC: Masz tutaj zrbione 64189

Basia: A jednak pierwsza myśl zawsze jest najlepsza

1		1		1
	+		+....+		=
n+1		n+2		2n

1		1		1
	+		+......+
n(1+1n)		n(1+2n		n(1+nn)

punkty x_k=1+¹_k odpowiadają punktom podziału odcinka <1,2> na n równych odcinków

	1		1
a		=f(xk) gdzie f(x) =
	1+1k		x

stąd

	1		1		1		1
limn→+∞ [		+		+....+		] = 1∫2		dx =
	n+1		n+2		2n		x

lnx ₁|² = ln2−ln1 = ln2−0 = ln2 proste