Dwie ciekawe granice do policzenia gdyby ktoś chciał fred:

	1		1		1
a)limn→∞(		+		+.....+		)
	n+1		n+2		2n

	n
b)limn→∞
	1   1   e1+ +...+   2   n

Basia: Podbijam, niektórych powinno zainteresować

Grześ: Ja też jestem ciekaw, takiego zadania bym nawet nie ruszył. Ty Basiu napewno znasz odpowiedź, co

Basia: dodam, że granica pierwszego na pewno ≠0 a mianownik drugiego na pewno nie dąży do e

Godzio: Bardzo chętnie nad tym posiedzę bo wydaję się ciekawe

Grześ: Ale jak w ogóle za ten drugi przykład sie wziąć, jak tam w potęgę liczby e jest ciąg harmoniczny O ja, co ludzie nie wymyślą

Basia: ∑¹_n→+∞ to właśnie dość oczywiste, ale co mi z tego

Basia: głupoty już wypisuję; trzeba to przespać

Godzio: co do b) wpadłem na takie coś chodź nie wiem czy poprawne ( jak coś to się usunie )

n		eIn(n)
	=		= e−(∑1n − In(n))
e1 + 1/2 + ... + 1/n		e∑1n

∑¹_n − In(n) −− to jest stała Eulera http://pl.wikipedia.org/wiki/Sta%C5%82a_Eulera i tyle wymyśliłem to coś pomoże ?

Krzysiek: Jeśli nie zrobiłem żadnego zbyt dużego skrótu myślowego to ten ciąg w (a) można zapisać jako:

	1
∑		ς(n) (−1)n+1
	n

od 1 do ∞ Może to coś pomoże? Wolfram mówi że to jest zero Ale znając mnie...

Krzysiek: Właściwie to Wolfram mówi że to jest ∞ , ta suma

Krzysiek: Oczywiście pogubiłem się we własnej notacji. Jeszcze raz:

	1
∑		* ς(k) * (−1)k+1
	nk

k od 1 do ∞

AC: Co b) oznaczmy granicę przez i zlogrytmujmy obie strony:

	1
ln g = limn→∞ (ln n − ln(∑		))
	k

Prawa strona równa się stałej Eulera ze znakiem przeciwnym ln g = −γ, stąd g = e^−γ

Krzysiek: Nieee porębało mi się tam w tym (a) sory

AC: co do a) z defincji stałej Eulera mamy:

	1
γ = limn→∞( i=1∑n		− ln n)
	i

to samo można napisać podtsawiając zamiast n, 2n

	1
γ = limn→∞( i=1∑2n		− ln 2n)
	i

odejmując stronami drugie od pierwszego

	1
0= limn→∞( i=n+1∑2n		− ln 2)
	i

stąd

	1
limn→∞ i=n+1∑2n		= ln 2
	i

Sorry za zapis, ale nie umiem napisać lepiej granic sumowania.

Krzysiek:

Bogdan:

AC: Dzięki!

fred: a)odp. ln2 b) odp e^−γ