matura zad. vvv: Udowodnij, że xy + xz + zy jest mniejsze lub równe 0 przy założeniu że x + y + z = 0. Dodatkowe założenie do tego zadania: (x+y+z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2yz + 2xz

Dominik: Z. x + y + z = 0 T. xy + xz + yz ≤ 0 D. x² + y² + z² ≥ 0 x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0

	1
x2 + y2 + z2 − (x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) ≥ 0 /*−
	2

xy + xz + yz ≤ 0 QED

vvv: sory, nie zauważyłam: https://matematykaszkolna.pl/forum/202776.html

Bogdan: Pominąłeś Dominik jeden istotny zapis: (x + y + x)² = 0, u Ciebie nie widać uzyskania równości x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0 To było zadanie tylko za 2 punkty, wystarczyło więc napisać np. tak: x, y, z ∊ R i x² + y² + z² ≥ 0 x + y + z = 0 ⇒ (x + y + z)² = 0 ⇒ x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz = 0 ⇒ ⇒ 2xy + 2xz + 2yz = −(x² + y² + z²) ≤ 0 ⇒ 2xy + 2xz + 2yz ≤ 0 /:2 ⇒ ⇒ xy + xz + yz ≤ 0 co należało udowodnić

matura 2013: x2+y2+x2+2xy+2xz+2yz=0 2xy+2xz+2yz=−x2−y2−z2 xy+yz+xz≤0 /*2 2xy+2yz+2xz≤0 I wiedząc, że: 2xy+2xz+2yz=−x2−y2−z2 −x2−y2−z2≤0 jest zawsze prawdziwe bo kwadrat nie moze byc ujemny w związku z tym xy+yz+xz≤0 również jest prawdziwe. Ponawiam moje pytanie, czy taki zapis też jest poprawny?

pigor: ..., Udowodnij, że jeśli x,y,z∊R i x+y+z=0 , to xy+yz+zx ≤ 0 ; no to może jeszcze jak ja to widzę, a więc np. tak : x+y+z=0 ⇒ z= −(x+y) i xy+yz+zx= xy+z(x+y)= xy−(x+y)²= xy−x²−2xy−y²= = −(x²+xy+y²)= −(x²+2*¹₂xy+y²)= −(x+¹₂y)² ≤ 0 c.n.u. . ...

pigor: ...oczywiście sknociłem w ostatniej linijce (przepraszam), bo miało... być tak : nie tak : = −(x²+xy+y²)= −(x²+2*¹₂xy+y²)= −(x+12y)2 ≤ 0 c.n.u. . . tylko tak : = −(x²+xy+y²)= −(x²+2*¹₂xy+¹₄y²+³₄y²)= −(x+¹₂y)²− ³₄y² ≤ 0 c.n.u. . .. .

artur: A ja zrobiłem zupełnie inaczej i tu moje pytanko czy mi uznają Otóż wyznaczyłem że x=−y−z i po podstawieniu wyszło: (y+z)²−yz≥0 i tu moje pytanko, czy to jest już uzasadnienie, bo to niepełny wzór skróconego mnożenia, czy jakoś tak.

ZKS: Nic nie wiadomo czy (y + z)² − yz jest większe bądź równe 0 bez jakiegoś uzasadnienia.

artur: Wydaję mi się, że to samo w sobie jest uzasadnienie bo nawet jeśli odejmie się tzw. ab od wzoru na kwadrat sumy to i tak będzie na plusie, ale mogę się mylić.

pigor: ..., dadzą ci na pewno 1 punkt, a drugi gdybyś uzasadnił np. tak : (y+z)²−yz= y²+2yz+z²−yz= y²+zy+z² , a to jest trójmian kwadratowy zmiennej y , gdzie z parametr, (albo możesz patrzyć jako zmiennej z i parametr y) , którego wyróżnik Δ_y= z²−4z²= −3z² ≤ 0 , (albo Δ_z= y²−4y²=−3y²≤ 0) , czyli wyróżnik niedodatni dla ∀y,z∊R , a to oznacza , że wartość tego trójmianu (wyrażenia)y²+zy+z² ≥0 dla ∀y,z∊R .