. mat: Zadanie z matury Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y,z, taki, że x+y+z=0 prawdziwa jest nierówność xy+yz+zx≤0 x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=0 x²+y²+z²=−2(xy+xz+yz)

	x2+y2+z2
−		=xy+xz+yz
	2

	x2+y2+z2
−		jest zawsze mniejsze bądź równe zeró czyli xy+xz+yz≤0
	2

Czy za to dostane jakieś punkty ?

Dominik: zapewne max.

mat: czyli można zrobić to tym sposobem

matura 2013: a można tak? x²+y²+x²+2xy+2xz+2yz=0 2xy+2xz+2yz=−x²−y²−z² xy+yz+xz≤0 /*2 2xy+2yz+2xz≤0 I wiedząc, że: 2xy+2xz+2yz=−x²−y²−z² −x²−y²−z²≤0 Będzie zawsze prawdziwe bo kwadrat nie może byc ujemny

mat: spójrz co było do udowodnienia

Mats: Założenia: xy+yz+zx≤0 x+y+z=0 (x+y+z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz OBLICZENIA: x+y+z=0 / ()² (x+y+z)²=0 a skoro podano, że (x+y+z)² = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz to 0 = x² + y² + z² + 2xy + 2xz + 2yz to 0 = xyz (x+ y + z + 2:z + 2:x + 2:y) 0= xyz (0 + 2:z + 2:x + 2:y) 0= 2xyz (1:z + 1:x + 1:y) 0= xyz (1:z + 1:x + 1:y) 0= xy+yz+zx

Kamcio :): Mats, coś Ci się popieprzyło chyba wymnóż sobie te xyz teraz linijkę po słowie "to" i zobacz co Ci wyjdzie

Kamcio :): bedziesz miał x²yz+xy²z+xyz²+2xy+2xz+2yz

Mats: ale skoro x+y+z= 0 z założenia to moge tak przecież.... o co chodzi. Wyjasnij proszę

Mats: racja już widzę

Bogdan: tu pokazałem przykładowy zapis rozwiązania 202810

mat: @ BOGDAN Czy moje rozwiązanie jest poprawne ?

Romek: A ja zrobiłem z parametrem wyznaczyłem x=−y−z podstawiłem ddo nierówności i wyszżła mi y²+yz+z² ≥0 Wziąłem sobie z jako parametr i liczyłem delte Δ=−3z² delta zawsze ujemna a przy y² jest liczba dodatnie więc równanie jest prawdziwe dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich.Parabola skierowana ramionami do góry bez miejsc zerowych c.n.d

Bogdan: W zadaniu za 2 punkty taki zapis rozwiązania jak Twój mat jest przyjmowany i z pewnością dostaniesz 2 punkty

matura 2013: Okej ale ja dopisałam na dole na maturze, że w związku z tym, że: −x²−y²−z²≤0 co jest zawsze prawdziwe nierównosc xy+yz+zx≤o też jest zawsze prawdziwa

pigor: ... , jak dla mnie zrobiłeś to tak jak ja bym robił i sądzę Romek, że masz 2 punkty na bank w każdym razie ... u mnie ; pozdrawiam

Roso: : Ja zrobiłem tak: założyłem że: (x+y+z)²≥0 x²+y²+z² + 2xy+2xz+2yz≥0 zauwazyłem wzór skróconego mnożenia x i z (x+z)²+y²+2xy+2yz≥0 za x+z podstawiłem: −y czyli wychodzi: 2y²+2xy+2yz≥0 y²+xy+yz≥0 y²≥ −xy−yz Potem przekształciłem to co trzeba było udowodnić: xy+xz+yz≤0 y(x+z) +xz≤0 y²≥xz Wstawiłem y² do powyższej nierówności i wyszło: xy+yz+xz≤0 Myślicie że tak można i mi to uznają ?

Jagoda: O mój boże... Szacunek dla Was. W zyciu bym tego nie zrobila. Dobrze, że jestescie