Dominik: jak w miare szybko rozwiazac

⎧	4a2 − 4ab − b2 + 8 = 0
⎨
⎩	2a2 − b2 + 2 = 0

? z gory dzieki

Dominik:

Trivial: Zamienię troszkę oznaczenia: a → x, b → y 4x² − 4xy − y² = −8 2x² − y² = −2 Zauważamy teraz, że po lewych stronach równań mamy tylko wyrazy które mnożą zawsze dwie niewiadome, tj. x*x, x*y, y*y (są formą kwadratową). Takie równania można rozwiązać w następujący sposób: 1. Poprzez odpowiednie przemnożenie i zsumowanie równań należy doprowadzić je do postaci Ax² + Bxy + Cy² = 0 2. Jeśli A = 0, rozwiązanie trywialne. Jeśli nie to doprowadzamy równanie do postaci (x−ay)² + by² = 0 3. b > 0 → rozwiązaniem jest tylko (x,y) = (0,0) (trzeba sprawdzić czy się zgadza z pozostałymi równaniami) b = 0 → x = ay b < 0 → ze wzorów skróconego mnożenia rozbijamy równanie do postaci (x−αy)(x−βy) = 0 → x = αy lub x = βy. 4. Wstawiamy wyniki do dowolnego z równań i rozwiązujemy dalej. Ten schemat jest tylko wskazówką jak należy rozwiązywać takie równania. Stosując go w praktyce mamy: (1) 4x² − 4xy − y² = −8 (2) 2x² − y² = −2 Do równania pierwszego dodajemy −4 * równanie drugie: −4x² − 4xy + 3y² = 0 / *(−1) 4x² + 4xy − 3y² = 0

	4		4
4(x+		y)2 − 4*(		y)2 − 3y2 = 0
	2*4		2*4

	1
4(x+		y)2 − 4y2 = 0 / : 4
	2

	1
(x+		y)2 − y2 = 0 // Przypadek b < 0
	2

	1		1
(x+		y−y)(x+		y+y) = 0
	2		2

	1		3
(x−		y)(x+		y) = 0
	2		2

	1		3
x =		y lub x = −		y
	2		2

Wstawiamy do równania (2):

	1
dla x =		y:
	2

	1
		y2 − y2 = − 2
	2

	1
−		y2 = − 2
	2

y² = 4 y = ±2 dostajemy rozwiązania: (x,y) ∊ { (−1,−2), (1,2) }

	3
dla x = −		y:
	2

	9
		y2 − y2 = − 2
	2

	7
		y2 = − 2
	2

brak rozwiązań. Zatem (x,y) ∊ { (−1,−2), (1,2) }

Dominik: zdumiewajace − zgadza sie. w zasadzie cale rozwiazaie jest jasne, ale jakos mi sie nie chce wierzyc, zeby to bylo za 4 pkty (uklad rownan nie jest wszystkim − to jest potrzebne do wyznaczenia rownan prostych). a wlasnie ten uklad rownan byl w kluczu odpowiedzi...

Trivial: Ten układ nie jest jakiś trudny rachunkowo, ale trzeba wiedzieć przynajmniej mniej więcej jak do niego podejść. Jakie było oryginalne zadanie?

Eta: 4a²−4ab−b²+8=0 − 2a²−b²+2=0 −−−−−−−−−−−

	a2+3
2a2−4ab+6=0 ⇒ b=		, a ≠0
	2a

	a2+3
2a2−(		)2+2=0
	2a

7a⁴+2a²−9=0 Δ=256 √Δ=16 a²= 1 ⇒ a=1 v a= −1

	1+3		1+3
b=		=2 v b=		= −2
	2		−2

rozwiązaniem są pary : (1,2), (−1,−2)

Eta: Dodam,że a≠0 bo: dla a=0 1/ b²=8 2/ b²=2 sprzeczność, zatem a≠0

Dominik: Znajdź równania wspólnych stycznych do okręgów x² + y² − 2 = 0 i x² + y² − 4x − 4 = 0.

Eta: https://matematykaszkolna.pl/forum/201451.html