liczby całkowite. karol: Wykaż, że liczba jest całkowita: ³√√5+2 − ³√√5−2

ICSP: = 1 ∊ C

karol: Klucz to ja mam, ale jak to obliczyc?

aniabb: https://matematykaszkolna.pl/strona/55.html

Prosiałke: Różnica sześcianów. Chyba to.

PW: Co najmniej trzy rozsądne sposoby rozwiązania tego zadania już pojawiały się na tym forum. Zaproponuję jeden z nich, nieco zmodyfikowany. Niech x=³√√5+2. Widać, że liczba ta jest większa od 1, ale mniejsza od 2 (bo √5+2<8. liczba y=³√√5−2 jest dodatnia, bo √5>2 i jednocześnie y<1, bo √5<3. Jest więc 1<x<2 0<y<1, czyli 1<x<2 −1<−y<0 co po dodaniu stronami daje 0<x−y<2. Gdyby więc rzeczywiście różnica ta była liczbą całkowitą, to musi być równa 1.

	1
Zauważmy ponadto, że y=		, gdyż
	x

	1		(√5+2)(√5−2)
		=		=
	√5+2		√5−2

	5−4		1
		=
	√5−2		√5−2

(kreski ułamkowe zżera program, nic nie poradzę). Sprawdźmy więc, jakie liczby spełniają równanie

	1
u−		=1.
	u

u²−1=u u²−u−1=0 Δ=5,

	1−√5
u1=		<0 na pewno nie jest rozwiązaniem zadania,
	2

	1+√5
u2=		mogłaby być rozwiązaniem, ale wygląda inaczej niż x.
	2

Sprawdzamy:

	1+√5		1		1
(*) u23=(		)3=		(1+3√5+3√52+√53)=		(16+8√5)=2+√5=x3
	2		8		8

Równość u₂³=x³ oznacza, że u₂ jest tylko innym zapisem liczby x, czyli jest rozwiązaniem zadania. Odpowiedź: Prawdziwa jest równość ³√√5+2−³√√5−2=1. Uwaga: Innym zapisem liczby ³√√5+2 jest

	1+√5
		.
	2

Możesz się spotkać z rozwiązaniami zaczynającymi się od (*), ale na to mogą sobie pozwolić tylko ci, którzy liczbę U₂ znają osobiście (wiedzą, że wyszła za mąż, a poprzednio nazywała się x).