algebra liniowa dawid: Sprawdź czy U jest podprzestrzenią przestrzeni liniowej V nad R: V = R³ i U = {(x, y, ,z) ∊ R³ : 2a + b = 0}

dawid: Dodam tylko tyle, że wiem, że trzeba na podstawie definicji: 1. 0 ∊ U 2. ∀_{u, v ∊ U} u + v ∊ U 3. ∀_α∊K ∀_u∊U α * u ∊ U Tylko nie wiem jak zastosować to w praktyce

dawid: tam powinno być: U = {(x, y, z) ∊ R³ : 2x + y = 0}

dawid: u = (x, y, ,z) ∊ U ⇔ 2x + y = 0 w = (a, b, c) ∊ U ⇔ 2a + b = 0 1. u + w = (x + a, y + b) ∊ V u + w = 2(x + a), (y + b) = [2x + y] + [2a + b] = 0 + 0 = 0 (zera dlatego, że podstawiamy? − jakby ktoś mógł wytłumaczyć)

dawid: może ktoś sprawdzić to wyżej ? czy o to w tym chodzi

Trivial: 1. Czy możesz wziąć dowolne dwa wektory z U, dodać je do siebie zostając przy tym w U? u∊U, v∊U, (u+v)∊U? Z warunku 2x+y = 0 mamy: y = −2x, z dowolne. Przykład: u = (1, −2, 8) v = (−2, 4, 9) u+v = (−1, 2, 17) OK Dowód: u = (x, −2x, z) v = (a, −2a, c) u+v = (x+a, −2(x+a), z+c) OK 2. Czy możemy pomnożyć wektor z U przez dowolny skalar i wylądować w U? u∊U (αu)∊U ? Przykład: u = (1,−2,3) 3u = (3, −6, 9) OK Dowód: u = (x, −2x, z) αu = (αx, −2αx, αz) OK

dawid: ok, to kolejny przykład postaram zrobić się sam: b) V = R³ i U = {(x, y, z) ∊ R³ : x − z = 2} u ∊ U, v ∊ U − zatem czy (u + v) ∊ V (?) x − z = 2 ⇔ x = z + 2, y jest w tym momencie dowolne tutaj wypisałem sobie kilka przykładów, ale chyba nie zajdzie − zgadza się? u = (1, 5, 3) ; (2, 5, 4) v = (1, 7, 3) ; (4, 7, 6) u + v = (2, 12, 6) ; (6, 12, 10) Z tego wynika, że będzie zawsze o dwa razy większe, tylko jak teraz udowodnić to, że nie zajdzie ?

Trivial: Przykłady które napisałeś nie spełniają x = z + 2. Poprawione: u: (5, 5, 3) v: (5, 7, 3) u+v: (10, 12, 6) I od razu widać, że 10 ≠ 6 + 2 = 8 zatem U nie jest podprzestrzenią V.

Trivial: Aha i nie trzeba udowadniać, wystarczy podać jeden kontrprzykład.

dawid: i tylko taki kontrprzykład wystarczy ?

dawid: c) V = R² i U = {(x, y) ∊ R² : |x| = |2y|} I tutaj moje pierwsze pytanie czy to trzeba rozpisywać: x = |2y| v x = −|2y| x = 2y v x = −2y (i tutaj x = −(2y) v x = −(−2y) ale to to samo co przed nawiasem) więc trzeba dwa przypadki rozpatrywać ?

Trivial: Tak, można rozpisać na 2 przypadki: x = 2y x = −2y. Jednak znów wystarczy podać jeden kontrprzykład. (4, 2) + (−2, 1) (2, 3) FAIL

dawid: V = R² i U = {(x, y) ∊ R² : ab = 0 } A tutaj jak to zrobić − jak rozpisać: a = 0, bo teoretycznie ab = 0 / : b ⇒ a = 0, tak samo z b = 0. W miarę dobre są te wnioski?

Trivial: ab = 0 ⇔ a = 0 lub b = 0 (0,1) OK + (1,0) OK (1,1) FAIL

dawid: ok, dziękuję bardzo już to rozumiem, a czy mógłbyś mi pomóc z ostatnim zadaniem: 199864