algebra dawid: Witam, mam problem z przeprowadzeniem następującego dowodu: Wykaż, że zbiór ℛ^ℛ wszystkich funkcji z ℛ w ℛ na następujących działaniach: a) + (dodawania) na R^R: (f + g)(x) = f(x) + g(x) b) α * (mnożenie przez skalar) na R^R dla α ∊ R: (α * f)(x) = α * f(x) jest przestrzenią liniową. Bardzo proszę o pomoc, ponieważ kompletnie nie rozumiem tych dowód, a chciałbym zacząć robić sam .

dawid: jakieś pomysły ?

PW: Wziąć w garść definicję przestrzeni liniowej i sprawdzić, czy podany twór spełnia definicję.

dawid: Czy chodzi o definicję z tej strony: http://math.uni.lodz.pl/~maczar/zarz_7.pdf A konkretniej "przestrzeń liniowa ℛⁿ".

dawid: nie wiem za bardzo jak to dokładnie definicja

dawid:

dawid: mozna liczyć na pomoc ?

dawid:

Trivial: Trzeba użyć pierwszej definicji w pdf−ie i pokazać, że wszystkie warunki zachodzą.

dawid: tj.: te wszystkie 8 przypadków ? można by prosić aby rozpisać 1,a resztę będę robił podobnie?

Trivial: W poprzednich zadaniach elementami naszej przestrzeni były wektory. Teraz sytuacja się zmienia. Elementami przestrzeni są funkcje (R → R), a zatem u, v, w, θ z definicji to funkcje (R→R). 1. Łączność. Sprawdzamy czy u + (v + w) = (u + v) + w ? Żeby to sprawdzić musimy te funkcje obliczyć w jakimś punkcie x. (u + (v+w))(x) =^a= u(x) + (v+w)(x) =^a= u(x) + v(x) + w(x). ((u + v) + w)(x) =^a= (u+v)(x) + w(x) =^a= u(x) + v(x) + w(x). OK.

dawid: 2. Sprawdzamy czy u + v = v + u ? Obliczamy te funkcje w jakimś punkcie x. (u + v)(x) =^a= u(x) + v(x) (v + u)(x) =^a= v(x) + u(x) = u(x) + v(x) Tak? I co dokładnie oznacza "=^a=" ?

Trivial: Tak. =^a= oznacza, że skorzystałem z własności a).

dawid: ok to teraz: 3. ∃Φ∊V v + Φ = v (v + Φ)(x) =^a= v(x) + Φ(x) [ale Φ nie jest funkcja więc] = v(x) (v)(x) =^a= v(x) O to mniej więcej chodziło? I te wszystki 8 pkt muszę sprawdzić dla dodawanie, a następnie powtórzyć to dla mnożenia?

Trivial: To mylące, ale ten + między f + g to nie ten sam +, który jest pomiędzy f(x) + g(x) + jako argumenty przyjmuje dwie funkcje (R→R)² i zwraca funkcję (R→R) + jako argumenty przyjmuje dwie liczby (R²) i zwraca liczbę (R). Czyli + działa na funkcjach, a + działa na zwykłych liczbach. Podobnie z mnożeniem. a) (f+g)(x) = f(x) + g(x) b) (α*f)(x) = α*f(x) Może to nie ma wielkiego znaczenia, ale warto wiedzieć, co się robi. 3. Trzeba znaleźć element neutralny dodawania, czyli rozwiązać równanie u + θ = u Gdzie niewiadomą jest funkcja θ. Żeby to równanie miało sens obliczmy obie strony w punkcie x. (u+θ)(x) = u(x) Używając własności a): u(x) + θ(x) = u(x) A zatem: θ(x) = 0 ← θ jest funkcją stałą, która dla dowolnego x zwraca 0. I tym samym znaleźliśmy taką funkcję θ, że u + θ = u

dawid: 4. ∀v∊V ∃−v∊V v + (−v) = 0 (v + (−v))(x) = θ Stosujemy własność a) v(x) + (−v(x)) = v(x) − v(x) = θ Więc są elementem przeciwnym ?

Trivial: Pamiętaj kiedy jesteś w świecie funkcji, a kiedy w świecie liczb. Równanie funkcyjne: v + (−v) = θ Równanie liczbowe: (v + (−v))(x) = θ(x) Teraz można zastosować a) oraz za θ(x) podstawić 0 v(x) + (−v)(x) = 0 + to normalne dodawanie, więc można przenieść na drugą stronę, skąd mamy: (−v)(x) = − v(x)

dawid: czyli chodziło o kolejność 5. a * (u + v) = a * u + a * v, u,v ∊ V i a ∊ R tutaj aby nie popełnić kolejnej gafy zapytam: czy trzeba będzie po lewej stronie wykorzystać wpierw punkt b), a następnie a) ?

Trivial: Po lewej: b, a Po prawej: a, b, b.

dawid: I co to ma pierwotnie oznaczać ?

Trivial: Badamy czy jest rozdzielność mnożenia względem dodawania.

dawid: tyko nie wiem skąd u ciebie i w jakim celu to b? myślałem, aby zrobić coś takiego: (a * (u + v))(x) = (a * v + a * u)(x) = ... czy źle ?

Trivial: Nie ma takiej reguły. Możesz korzystać tylko z a), b) i ewentualnie tego co udowodniłeś do tej pory. Najpierw pozbądź się mnożenia, potem dodawania. (a*(u+v))(x) = a*(u+v)(x) = a*(u(x) + v(x)) = a*u(x) + a*v(x). Teraz prawa strona.

dawid: jak udowodnimy te wszystkie 8 podpunktów mamy udowodnione całe zadania, czy coś jeszcze zostatnie?

dawid:

dawid:

Trivial: Już nic nie zostanie.

dawid: czyli te wszystkie 8 punktów udowodni nam tak jakby całe zadanie ?

Trivial: Tak.