wykaż, że... trygonometria Atashi: Wykaż, że jeśli α, β, γ są kątami wewnętrznymi trójkąta i sin²α + sin²β < sin²γ, to cosγ<0. Proszę o pomoc

Atashi: nikt nie umiałby tego zrobić?

akante: jak tak patrze to średnio to widze ale na bank ktoś potrafi tu są mądre głowy

Atashi: jeśliby ktoś umiał zrobić to super by było bo podobne zadanie może być na maturze i chciałabym być przygotowana jak coś

Eta: a,b,c >0 długości boków odpowiednio naprzeciw kątów α,β,γ z twierdzenia sinusów

	a		b		c
2R=		, 2R=		. 2R=
	sinα		sinβ		sinγ

	a2		b2		c2
sin2α=		, sin2β=		, sin2γ=
	4R2		4R2		4R2

to: a²+b²< c² ⇒ a²+b²−c² <0 −−− trójkąt jest rozwartokątny

	a2+b2−c2
z twierdzenia kosinusów: cosγ=		<0 , bo 2ab>0 i a2+b2−c2<0
	2ab

c.n.u

Licealista_Theosh: Eta chcesz się pośmiać?

Eta: https://matematykaszkolna.pl/forum/200653.html

Licealista_Theosh:

Atashi: Dziękuję bardzo, rozumiem już

Bogdan: Zabawa z wzorkami (nieco przydługie): α + β + γ = 180^o ⇒ γ = 180 − (α + β), sinγ = sin(180^o − (α + β)) = sin(α + β), cosγ = cos(180^o − (α + β)) = −cos(α + β) sin²γ = (sin(α + β))² = (sinα cosβ + sinβ cosα)² = = sin²α cos²β + 2sinα cosβ sinβ cosα + sin²β cos²α sin²α+sin²β<sin²γ ⇒ sin²α+sin²β < sin²α cos²β+2sinα cosβ sinβ cosα+sin²β cos²α sin²α + sin²β − sin²α cos²β − 2sinα cosβ sinβ cosα − sin²β cos²α < 0 sin²α(1 − cos²β) + sin²β(1 − cos²α) − 2sinα cosβ sinβ cosα < 0 sin²α sin²β + sin²β sin²α − 2sinα cosβ sinβ cosα < 0 2sin²α sin²β − 2sinα cosβ sinβ cosα < 0 2sinα sinβ (sinα sinβ − cosβ cosα) < 0 ⇒ 2sinα sinβ (−cos(α+β)) < 0 sinα sinβ cosγ < 0 ⇒ cosγ < 0 (sinα > 0 i sinβ> 0)