ciąg arytmetyczny -sprawdzenie bezendu: Może ktoś sprawdzić ?

	1
Uzasadnij, że liczby a=		b=|√2−√3| c=√3(1−√3) tworzą w podanej kolejności
	√3−√2

ciąg arytmetyczny. b=|√2−√3|=√3−√2 c=√3−3√2

	1
a2−a1=(√3−√2)−(		)=−2√2
	√3−√2

a₃−a₂=(√3−3√2)−(√3−√2)=−2√2 czyli r=−2√2 czyli ciąg jest arytmetyczny

bezendu: a₂−a₁=−2√2

Mila:

	1		1		√3+√2
a=		=		*		=√3+√2
	√3−√2		√3−√2		√3+√2

w c masz błąd.

bezendu: przepraszam źle przepisałem c=√3(1−√6) czyli c=√3−√18=√3−3√2

bezendu: a₂−a₁=(√3−√2)−(√3+√2)=−2√2 a₃−a₂=(√3−3√2)−(√3−√2)=−2√2 teraz dobrze ?

Mila: a=√3+√2 b=√3−√2 c=√3−3√2 Można Twoim sposobem albo

	a+c		√3+√2+√3−3√2		2√3−2√2
b=		⇔√3−√2=?		=		=√3−√2
	2		2		2

cnw

bezendu:

	a+c
Dziękuje a co to za wzór b=		?
	2

Mila: a,b,c − kolejne wyrazy c.a. b−a=c−b⇔ 2b=a+c

	a+c
b=
	2

swoimi słowami: środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną skrajnych. (oczywiście gdy mamy 3 kolejne wyrazy) W geometrycznym: b²=ac Nauczyciel nie podał?

bezendu: nie miałem jeszcze geometrycznego

	an−1+an+1
a ta zależność już sobie przypominam ze wzoru an=
	2

masz może jeszcze chwilkę czasu ?

Mila: Pisz pytania.

bezendu: http://www.fotoszok.pl/upload/a5a79d1c.jpg Wiem, że zadania banalne ale wole żeby ktoś sprawdził zad1. a_n=−3n−5 a₁=−3*1−5=−8 a₂=−3*2−5=−11 r=−11−(−8)=−3 zad2. m²−4m>0 m(m−4)>0 m=0 m=4 m∊(−∞,0)∪(4,∞) zad3. a₃=6 a₅=4 a₁+(3−1)*r=6 a₁+(5−1)*r=4 a₁+2r=6 /(−2) a₁+4r=4 −2a₁−4r=−12 a₁+4r=4 −a₁=−8 a₁=8 zad4 a₂−a₁=a₃−a₂ x²+5x−3x=7x−4−(x²+5x) x²+2x=7x−4−x²−5x x²+x²+2x−7x+5x=0 2x²−4=0 2(x²−2)=0 x=√2 lub x=−√2 zad5 a₁=14 a₂=20 r=6 a_n=98 98=14+(n−1)*6 98=14+6n−6 6n=90 n=16

	14+98
Sn=		*15=840
	2

bezendu: @Mila mogłabyś sprawdzić ?

Mila: Tak. Czekaj.

Mila: W 5 jest literówka n=15 zadanie 3 możesz tak: (mniej liczenia?) a₅=a₃+2r 4=6+2r 2r=−2 ⇔r=−1 a₃=a₁+2r⇔6=a₁−2 a₁=8 Wszystko masz dobrze.

bezendu: dziękuje

bezendu: Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu arytmetycznego określonego wzorem tu jest układ równań a₂+a₄=22

a1
	=21
a5

robię tak: a₁+r+a₁+3r=22

a1
	=21
a1+4r

2a₁+4r=22 /2

a1
	=21
a1+4r

a₁+2r=11

a1
	=21
a1+4r

a₁=11−2r

11−2r
	=21
11−2r+4r

11−2r
	=21 i jak to dalej ruszyć ?
11+2r

huehuehue: podziel przez 2 , pomnóż przez 4 , odejmij 7 i bedziesz mial wynik

bezendu: 11−2r=21(11+2r) 11−2r=231+42r −2r−42r=231−11 −44r=220 r=−5 a₁=11−2r a₁=11−2*(−5) a₁=21 już mam tylko czy dobrze ?

bezendu: huehuehue no chyba nie bardzo nie skorzystam z Twojej ''drogocennej" rady

Mila: 11−2r=21(11+2r) r=−5 Prościej: a₂+a₄=22⇔a₁+2r=11 a₁=21a₅⇔a₁=21(a₁+4r) a₁=11−2r −20a₁=84r /:4⇔−5a₁=21r −5(11−2r)=21r −55+10r=21r −55=11r r=−5 a₁=11−2*(−5)=21

bezendu: @Mila mam jeszcze jeden przykład sprawdzisz ?

Mila: Pisz. Dobrze Ci to idzie.Która klasa?

bezendu: polecenie to samo co wyżej układ równań

a5
	=−1
a1

a₂*a₇=−1

a1+4r
	=−1 / a1
a1

a₁+4r=−a₁ 2a₁+4r=0 a₁+2r=0 a₁=−2r a₁+r*a₁+6r=−1 −2r+r*(−2r+6r)=−1 −r*4r=−1 −4r²=−1 4r²=1 /4

	1
r2=
	4

	1		1
r=−		lub r=
	2		2

	1		1
a1=−2*(−		)=1 lub a1=−2*		=−1
	2		2

bezendu: Jestem w 3 klasie technikum

Mila: Tak myślałam. Błędne zapisy: a₁+r*a₁+6r=−1 −2r+r*(−2r+6r)=−1 Powinno być: (a₁+r)*(a₁+6r)=−1 (−2r+r)*(−2r+6r)=−1 gdy na maturze,na klasówce opuścisz nawiasy , to stracisz punkty.

bezendu: ok dziękuje za cenną uwagę

bezendu: https://matematykaszkolna.pl/forum/192230.html sorry, że Cie tak wykorzystuje ale mogłabyś sprawdzić jeszcze to zadanie z trójkątem które zrobiłem bo nie chce dwa razy robić tych samych zadań

bezendu: a co do matury to mam jeszcze rok jutro mam klasówkę właśnie z ciągu arytmetycznego i robię sobie zadania

Mila: Dobrze. Podpowiedź, oznaczaj boki Δ: b−2,b,b+2 otrzymasz prostsze równanie.

bezendu: ok to jeszcze zadanie z parametrem: Dla jakiej wartości parametru k liczby a₁ ,a₂, a₃ są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego a) a₁=3 ,a₂=k+1 a₃=3k−6 (k+1)−3=(3k−6)−(k+1) k−2=3k−6−k−1 k−2=2k−7 k−2k=−7+2 −k=−5 k=5

	1
b) a1=2k a2=k+3 a3=		k
	2

	1
(k+3)−2k =		k−(k+3)
	2

	1
k+3−2k =		k−k−3
	2

	1
−k+3= −		k−3
	2

	1
−k+		k=0
	2

	1
−		k=0 sprzeczność
	2

asdf:

	an−1 + an+1
an =
	2

2a_n a_n−1 + a_n+1

	1
2(k+3) = 2k +		k
	2

2k + 6 = 2k + U1}{2}k k = 12

Mila: a) dobrze b) źle

	1
−k+3= −		k−3
	2

	1
−		k=−6
	2

k=12

bezendu: a no tak walnąłem się przy znakach

bezendu: Dane są wyrazy a₁=4 a₂=m+6 a₃=2m+8 ciągu arytmetycznego. Wyznacz wyrazy a₄ i a₅ . Określ monotoniczność tego ciągu w zależności od parametru m r=(2m+8)−(m+6)=2m+8−m−6=m+2 a₄=4+3(m+2) a₄=4+3m+6 a₄=3m+10 a₅=4+4(m+2) a₅=4+4m+8 a₅=4m+12 a_n=4+(m+1)*(m+2) a_n=4+m²+2m+m+2 a_n=4+m²+3m+2 a_n+1= 4+(m+1)²+3(m+1)+2=4+m²+2m+1+3m+3+2= =m²+5m+10 a_n+1−a_n=(m²+5m+10)−(4+m²+3m+2)= m²+5m+10−4−m²−3m−2=2m+4 ciąg jest rosnący to już naprawdę ostatnie

bezendu: teraz monotoniczność sorry że nie w jednym poście 2m+4=0 2m=−4 /2 m=−2 stały 2m+4>0 2m>−4 /2 m>−2 rosnący 2m+4<0 2m<−4 /2 m<−2 malejący

Mila: a_n to trochę inaczej wygląda i nie trzeba tu liczyć, bo masz r obliczone. (ostatnie 7 linijek , źle) r=m+2 m+2>0⇔m>−2 ciąg rosnący m+2=0⇔m=−2 ciąg stały m+2<0⇔m<−2 ciąg malejący

bezendu: a_n=4+m²+3m+2 ? ale ja zrobiłem że tak jak przy określaniu monotoniczności a_n+1−a_n

bezendu: czyli a_n by wyglądało tak: a_n=4+(n−1)(m+2) a_n=4+nm+2m−m−2 a_n=4=nm+2−2

Mila: Do wpisu z 22:27 a_n=4+(n−1)*(m+2) Jeśli dobrze obliczysz , to r=a_n+1−a_n jest równe m+2

bezendu: ok to spróbuje policzyć jeszcze raz

Mila: Dzisiaj idź spać, powodzenia na sprawdzianie. Napisz jutro, jak Ci poszło.

bezendu: OK dziękuje dobranoc

bezendu: a_n+1=4+nm+2n a_n+1−a_n=(4+nm+2n)−(2+nm+2n−m)=4+nm+2n−2−nm−2n+m=m+2 wszystko dobrze wyszło tak jak mówiłaś czyli nie trzeba było policzyć a_n+1−a_n skoro miałem r=m+2 ale nie wiedziałem tego nie znałem tej zależności

bezendu: Hey Mila sprawdzian poszedł bardzo dobrze, ocenę też już znam

Mila: Jaka ocenka?

bezendu: 5 i zrobiłem jeszcze dodatkowe zadanie na plusa a teraz za tydzień mam z geometrycznego

Mila: Gratulacje, pracuj dalej solidnie, aby była szóstka z geometrycznego.

bezendu: dziękuje nie ma możliwości dostania 6 jedynie + (6 może mieć tylko u niej Pan Bóg) a tym bardziej że mam tylko podstawę w szkole

Mila: Piątka to też dobrze. Rozwiązuj zadania z poziomu rozszerzonego, przyda się na maturę i studia.

bezendu: Tak tylko ja mam duże braki przez dwa lata technikum i muszę jakoś uzupełnić