Najmniejsze i największe wartości funkcji w przedziale... KevyB: No więc... y = −x² − 6x − 1 <−1 , 1> x = −1 y = 1 + 6 − 1 = 6 x = 1 y = 1 −6 − 1 = −6 A (−1, 6) B (1, −6) Wierzchołek Δ = b² − 4ac Δ = 36 − 4 Δ = 32

	−b
p =
	2a

	6
p =		= −3
	−2

	−Δ
q =
	4a

	−32
q =		= 8
	−4

Xw = (−3, 8) mam wyznaczyć najmniejsze i największe wartości funkcji w tamtym przedziale... no to rysuje. (robie dokładnie tak jak jest powiedziane na https://matematykaszkolna.pl/strona/87.html ) i wychodzi mi takie obrzydlistwo... Co zrobiłem źle −.− ...

KevyB: Dochodze do wniosku ze rysowanie jest bez sensu, jak i wyznaczanie tego wierzchołka. Starczą mi punkty A i B a więc y_min = −6 dla x =1 a y_max = 6 dla x = −1

Bogdan: Razi sposób Twoich zapisów (np.: Δ = , Δ = , Δ = , powinno być: Δ = 36 − 4 = 32) i oznaczeń (nie p i q, a x_w i y_w). Niepotrzebnie wyznaczasz y_w (u Ciebie błędne oznaczenie q). f(x) = −x² − 6x − 1, x∊<−1 , 1> Krok 1. Sprawdzamy, czy odcięta wierzchołka paraboli x_w (nie p, ale x_w) należy do podanego przedziału>

	6
xw =		= −3 ∉ <−1 , 1>
	−2

Krok 2. Obliczamy wartości funkcji na końcach przedziału. f(−1) = −1 + 6 − 1 = 4 f(1) = −1 − 6 − 1 = −8 Odp.: Najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale y = −8, największa y = 4

KevyB: ja stosuje p i q tak jak tu: https://matematykaszkolna.pl/strona/91.html a wyznaczam bo tamten przykład jest bardzo podobny i tez ma wyznaczone q zamiast yw ktore tak naprawde jest tym samym pomijajac szczegoly. Wiec artykul jest caly bledny w oznaczeniach?

KevyB: I czemu masz f(1) = −1 − 6 − 1 = −8 przeciez (−1)² = 1?

Eta: f( 1) = −(1)² −6*1 −1 = −1 −6 −1= −8 czy teraz już jasne?

Bogdan: Wierzchołek jest punktem W(x_w, y_w), natomiast p i q to współrzędne nie punktu, a wektora przesunięcia paraboli. Nieporozumienie bierze się stąd, że liczbowo x_w = p, y_w = q, ale trzeba rozróżniać te pojęcia i stosować właściwe oznaczenia.

KevyB: na logike to jest nielogiczne. na książke to jest usprawiedliwione. bosh

KevyB: ok bede pamietał, tak czy siak musze jeszcze sporo porobic, a zostalo mi, 12 godzin do egzaminu −.−'

KevyB: a po co sprawdzic czy Xw należy do przedziału?

Bogdan: Weźmy inny przedział: f(x) = −x² − 6x − 1, x∊<−4 , 1> x_w = −3∊<−4 , 1> W takim przypadku liczymy y_w: y_w = f(−3) = −9 + 18 − 1 = 8 f(−4) = −16 + 24 − 1 = 7 f(1) = −1 − 6 − 1 = −8 Otrzymaliśmy zbiór wartości {8, 7, −8}. Najmniejsza wartość funkcji w podanym przedziale y = −8, największa y = 8

Eta: Sprawdzamy po to , bo dla x_w funkcja osiąga maksimum y_max. =y_w w wierzchołku W(x_w , y_w) bo ramiona paraboli skierowane do dołu , bo a = −1 <0 natomiast gdy parabola skierowana ramionami do góry ( a >0) to wtedy dla x_w jest minimum : y_min = y_w = f(x_w) Wracając do tego przykładu to: gdyby x_w €< −1,1> to max. tej funkcji to: y_w= f(x_w)

KevyB: wiec po to zeby wyliczyc Yw i umozliwic sobie znalezienie najwiekszej/najmniejszej wartosci?

KevyB: a teraz coś innego, znowu. równanie − 9x² − 16 = 0

	16
x = 0 lub x =		?
	9

Bogdan: Jeśli x_w należy do podanego przedziału, to znaczy, że ekstremum funkcji (minimum dla a<0, maksimum dla a>0) znalazło się w podanym przedziale i jest uwzględniane przy wyznaczaniu najmniejszej lub największej wartości funkcji w podanym przedziale.

Bogdan: Nie, 9x² − 16 = 0

	16
9(x2 −		) = 0
	9

	4		4
9(x −		)(x +		) = 0
	3		3

	4		−4
x =		lub x =
	3		3

KevyB: 4x² − 12x + 9 = 0 Δ= 0

	−b
x0 =
	2a

	12
x0 =
	8

	3
x0 =
	2

Bogdan: W zapisach przy rachunkach nie powtarza się oznaczenia literowego, nie ma też potrzeby zapisywać wzoru.

	12		3
x0 =		=
	8		2

Eta: Bogdanie sprawdź Swój wpis z 23: 04

KevyB: tamten sposób przy 9x² − 16 = 0 działa tylko jeśli jest − a nie + więc w przypadku 11x² + 4 = 0

	4
11x(x +		) = 0
	11

	4
x = 0 lub x =		jest już prawidłowe.
	11

KevyB:

	4
fu, x = −
	11

Bogdan: Eto, masz rację, dziękuję i poprawiam Jeśli x_w należy do podanego przedziału, to znaczy, że ekstremum funkcji (minimum dla a>0, maksimum dla a<0) znalazło się w podanym przedziale i jest uwzględniane przy wyznaczaniu najmniejszej lub największej wartości funkcji w podanym przedziale.

KevyB: god kolejny problem... (x−3)² + (x−2)² = (x−1)² wykonalem wszystkie operacje itd i otrzymuje x² + 8x + 9 = 0 Δ = 28 fajnie..

	−8−√28
x1 =
	2

	−8+√28
x2 =
	2

co teraz

KevyB: zostawia się to w takiej formie brzydkiej?

Bogdan: Jeszcze raz wykonaj działania, wynikowy trójmian jest inny.

Bogdan: Gdyby jednak wyszło tak, jak podałeś, to: √28 = √4*7 = 2√7

	−8 − 2√7
x1 =		= −4 − √7
	2

	−8 + 2√7
x2 =		= −4 + √7
	2

KevyB: x² + 8x + 12 = 0 Δ = 16 x₁ = −6 x₂ = −2

Bogdan: Jeszcze raz, uważaj na znak minus

KevyB: (x−3)² + (x−2)² = (x−1)² x² + 6x + 9 + x² + 4x + 4 = x² +2x + 1 x² + 6x + 9 + x² + 4x + 4 − x² − 2x − 1 = 0 x² + 8x + 12 64 − 48 = 16

−8 − 4
	= −6
2

−8 + 4
	= −2
2

coś tu jest dziwne, bo jak robie (x−3)(x−3) to mi wychodzi normalnie x² − 6x + 9 a jak ide według reguły a² − 2ab + b² czyli, x² −2 * x * −3 + (−3)(−3) to mi sie robi x² −2x(−3) + 9 a więc x² + 6x + 9 minus razy minus daje plus, ale cos mi sie tu miesza...

Bogdan: (x − 3)² + (x − 2)² = (x − 1)² x² − 6x + 9 + x² − 4x + 4 = x² − 2x + 1 x² − 8x + 12 = 0

KevyB: dobra, a teraz poprostu na zakończenie już. 1. Skrócenie wyrażenia

x2 − 2x − 15
2x2 − 50

2. Rozszerzenie wyrażenia

x+2
	=
x−1		x2−1

3. Wykonanie działań

x2 + 2x − 3		x2+4x+4
	*
x2−4		x2+6x+9

4. Uproszczenie wyrażenia

x2 − 2ax + a2		a2 − x2
	:
y2+2ay+a		a2 − y2

5. Rozwiązanie równania

x+2		x−4		9
	−		=
x−1		x+2		2

będe próbował je przetłuc, ale nie mam niestety jak sprawdzić wyniku ani nic... jak jeszcze to będe umiał to będzie już dobrze, i raczej sobie poradze na egzaminie który mam za jakieś 9 godzin

Bogdan:

	x2 − 2x − 15		(x − 5)(x + 3)		x + 3
1.		=		=
	2x2 − 50		2(x − 5)(x + 5)		2(x + 5)

dla x∊R \ {−5, 5}

Eta: Pomogę 1) założenie: mianownik nie może być równy zero M= 2x² −50= 2(x² −25)= 2( x −5)(x +5) więc x ≠5 i x≠ −5 L= x² −2x −15 , Δ=64 √Δ=8 to x₁ = 5 x₂ = −3 to: L= ( x −5)( x +3)

L		(x −5)(x+3)		x +3
	=		=
M		2(x −5)(x +5)		2(x +5)

po skróceniu ( x −5) bo x≠5

Bogdan:

x + 2				x + 2		(x + 2)(x + 1)
	=		⇒		=		⇒
x − 1		x2 − 1		x − 1		(x − 1)(x + 1)

	x + 2		x2 + 3x + 2
⇒		=
	x − 1		x2 − 1

Bogdan: Eto, jeśli możesz, to kontynuuj, bo ja teraz muszę zająć się innym zajęciem. KevyB − dziękuję za uwagę.

Eta: OK

KevyB: dzieki za pomoc Bogdan, 1 dobrze mi wyszlo, teraz mecze sie z nastepnym nie patrzac jeszcze na odpowiedz

Eta: zad3/

	(x +3)(x −1)		(x +2)2		(x−1)(x+2)
		*		=
	(x −2)( x+2)		(x+3)2		(x−2)(x+3)

D; x€R \{−3, −2, 2} jak nie wiesz skąd taki rozkład to pytaj

Eta:

	(a −x)2		(a−x)(a+x)
4)		:		=
	(a +y)2		(a−y)(a+y)

	(a−x)2		(a −y)(a+y)
		*		= ....skróć ..
	(a−y)2		(a−x)(a+x)

założenie: x ≠a , x≠ −a , y≠a , y≠ −a

KevyB: ze skrócenia i rozszerzenia mam jeszcze po jednym, bo mnie zaciekawiły skrócenie−

x3 + 3x2 − 25x − 75
x2 + 8x + 15

czy wyciagajac przed nawias w x³ + 3x² − 25x tak: x(x² + 3x − 25) dobrze myśle? nawet jeśli, to i tak z deltą już sie troche kiepściej robi... argh... z kolei w rozszerzeniu

x−5
	=		kombinuje z U{}x{x2−1} dla mianownika
x2 − x		x3−x

KevyB:

	− formatowanie
x(x2−1)

Eta: zad5/ D: x€R \{−2,1} sprowadzamy lewą stronę równania do wspólnego mianownika

(x+2)(x+2) − (x −4)(x −1)		9
	=
( x −1)( x +2)		2

x2 +4x +4 − ( x2 −5x +4)		9
	=
x2 +x −2		2

x2 +4x +4 −x2 +5x −4		9
	=
x2 +x −2)		2

9x		9
	=
x2 +x −2		2

to: 9(x² +x −2)= 9*2x /:9 x² +x −2 = 2x x² −x −2=0 .... Δ=9 √Δ=3 x₁ = 2 x₂ = −1 obydwa pierwiastki należą do dziedziny więc: odp: rozwiązaniem równania jest x = 2 , x = −1

Eta: x³ +3x² −25x −75 = ..... grupujemy po dwa wyrazy i wyłaczamy wspólny czynnik przed nawias zatem żle myślałeś = ( x³ +3x²) +( −25x −75)= x²( x+3) −25( x +3) = ( x +3)( x² −25) = ( x +3)( x −5)( x+5)

KevyB: no nic, nie zalicze najwyzej tej poprawki i bede musial powtarzac rok, trudno

Eta: Zaliczysz! Wierzymy w Ciebie. powodzenia, dasz radę ! Nie załamuj się , teraz idź do , odpocznij

KevyB: Dobra, to przynajmniej dwa zadania tekstowe jeszcze, bo napewno jako ustny bede mial do wyboru jakies i moge trafic na jakies tego rodzaju: np. Kilku uczniów rozwiązywało zadania. Na każdego przypadało 20 zadań, gdyby przyszło o 2 mniej to liczba zadań na jedną osobę była by o 8 większa. Ilu uczniów rozwiązywało zadania? Tomek i Janek budują latawiec, gdyby tomek budował sam, zajęłoby mu to 10 godzin, gdyby Janek pracował sam, zajęłoby mu to 15 godzin. Jak długo będą pracować razem (świta mi współczynnik pracy). Czyżby 6 godzin? wątpie żebym dobrze myślał, mam lekki chaos w głowie... a może jeszcze 2 Marek i Jurek malowali mieszkanie. Pracując razem skończyliby pracę w ciągu 4 dni. Po 3 dniach wspólnej pracy Marek wyjechał, a Jurek malował jeszcze przez 5 dni. W ciągu ilu dni każdy z nich samodzielnie pomalowałby mieszkanie?

KevyB: W pokoju w internacie na jednego mieszkańca przypada 4m². Po dojściu jeszcze 1 osoby powierzchnia ta zmniejszyła się o 1m² (akt. 3m²). Ile osób mieszka teraz w pokoju?

Eta: Może zajrzysz tu rano? Podaję zad z 1:12 rozszerzenie ułamka 1 mianownik : x ² −x = x( x −1) 2 mianownik : x³ −x = x( x² −1) = x ( x −1)( x +1) zatem:

x −5		( x −5)*( x +1)
	=
x( x −1)		x(x −1)( x+1)

KevyB: o 9 musze z domu juz wyjsc, a przynajmniej takie 6 godzin snu powinienem miec, ale musze jeszcze te zadania tekstowe przemordowac, bo ustny moze przesadzic o wszystkim, a nawet o pisemnym jakby poszedl mi nie za dobrze.

KevyB: cholera nie moge nawet znalezc na google podobnych zadan, a probowalem juz chyba z 5 roznych sposobow zeby zrobic np to z tymi uczniami, musze zajrzec glebiej...