help! Wydi: Wyznacz współczynniki c i d wielomianu W(x)=x³−4x²+cx+d wiedząc że liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu.

Bogdan: Zobacz podobny przykład tu 18963

Wydi: W(x)=(x−1)²(x−x₃)⇔W(x)=x²−2x+1(x−x₃)⇔W(x)=x³−2x²+x−x₃x²+2x₃x−x₃ w ten sposób tak

Wydi: i dalej... W(x)=x³−(2−x₃)x²+(1+2x₃)x−x₃

Wydi:

Wydi: c=−1/2 i d=−1

Wydi: Kurcze nie zgadza się jednak znalazłem takie fajne twierdzenie "Jeśli x₁ x₂ x₃ są pierwiastkami równania x³+bx²+cx+d to m.in x₁+x₂+x₃=−b czyli x₁=x₂=1 x₁+x₂+x₃=−b 1+1+x₃=4 x₃=2 (x−1)²(x−2)⇔(x²−2x+1)(x−2) =x³−2x²−2x²+4x+x−2⇔x³−4x²+5x−2 teraz jest dobrze

Bogdan: x₃ = r − trzeci pierwiastek W(x) = x³ − 4x² + cx + d Postać iloczynowa: W(x) = (x − 1)²(x − r) ⇒ W(x) = (x² − 2x + 1)(x − r) ⇒ ⇒ W(x) = x³ − rx² − 2x² + 2rx + x − r ⇒ ⇒ W(x) = x³ + (−r − 2)x² + (2r + 1)x − r −r − 2 = −4 ⇒ r = 2 Odp.: x₃ = 2 Można dodatkowo wyznaczyć c, d: 2r + 1 = c ⇒ c = 5 −r = d ⇒ d = −2 W(x) = x³ − 4x² + 5x − 2

Wydi: to dobrze mi wyszło 2 sposobem twierdzenia ułatwiają życie Dzięki Bogdan!

Bogdan: To, co zastosowałeś, to wzory Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia przy a = 1 W(x) = ax³ + bx² + cx + d

Wydi: dobrze wiedzieć gdyż okazało się pomocne

Eta: Witam Można też tak: wykonać dzielenie: ( x³ − 4x² +cx +d ) : ( x² −2x +1)= x − 2 − x³ +2x² −x −−−−−−−−−−−−− = −2x² +( c −1)*x +d +2x² − 4x +2 −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− = ( c −1 −4)*x + d +2 = R(x) =0 więc c − 5 =0 ∊ d+2 =0 to c = 5 ⊂ d= −2 ∊ x −2=0 => x= 2 wielomian : x³ −4x² +5x −2 = ( x −1)² ( x −2)