kolejna prośba - ekstrema podwójne
robert: f(x,y)=x2+xy+2y2+5x−1
22 sie 13:24
Bogdan:
Niepoprawne określenie: ekstrema podwójne.
Polecenie do tego zadania powinno być tak sformułowane: "wyznaczyć ekstremum funkcji
dwóch zmiennych".
Wyznacz najpierw pochodne cząstkowe I rzędu funkcji f(x, y) i potem przyrównaj je do zera,
bo taki jest warunek konieczny istnienia ekstremum. Z układu równań:
f'
x = 0
f'
y = 0
wyznacz wartości x, y.
Zobacz podobny przykład tutaj:
18603, więcej przykładów znajdziesz wpisując
w wyszukiwarkę na tym forum hasło "ekstremum"
22 sie 13:35
robert: dzięki już jest jasne dla mnie
22 sie 14:05
Bogdan:
Zróbmy jednak to zadanie.
f(x, y) = x
2 + xy + 2y
2 + 5x − 1
f'
x = 2x + y + 5
f'
y = x + 4y
Warunek konieczny istnienia ekstremum:
f'
x = 0 ⇒ 2x + y + 5 = 0
f'
y = 0 ⇒ x + 4y = 0
| | −20 | | 5 | |
Stąd x = |
| , y = |
| . |
| | 7 | | 7 | |
| | −20 | | 5 | |
Punkt A = ( |
| , |
| ) jest punktem podejrzanym o ekstremum. |
| | 7 | | 7 | |
Wyznaczamy pochodne cząstkowe II rzędu:
f"
xx = 2, f:"{xy} = 1,
f"
yx = 1, f"
yy = 4.
Tworzymy wyznacznik W
A z wartości pochodnych II rzędu w punkcie A.
Warunek wystarczający istnienia ekstremum: W
A > 0
| 2 1 |
W
A = | | = 7 > 0 i f"
xx > 0 więc w punkcie A funkcja posiada minimum.
| 1 4 |
22 sie 14:10
robert: | | −20 | |
jakim sposobem obliczyliście x= |
| i y |
| | 7 | |
22 sie 14:27
robert: bo ja jestem na etapie raczkowania
22 sie 14:29
Bogdan:
Rozwiązałem układ równań;
f'x = 0
f'y = 0
Wyraźnie przecież pokazałem ten układ.
22 sie 14:31
robert: | 5 | |
| wyszło mi dla x a nie dla y |
| 7 | |
22 sie 14:33
Bogdan:
1. 2x + y + 5 = 0
2. x + 4y = 0 ⇒ x = −4y
| | 5 | |
1. −8y + y + 5 = 0 ⇒ −7y = −5 ⇒ y = |
| |
| | 7 | |
22 sie 15:04
robert: oki już jest jasne dzięki i życzę miłej soboty
pozdrawiam
22 sie 15:07
Bogdan:
Życzę wytrwałości w nauce i powodzenia
22 sie 15:11